Gianmarco Bramanti ha scritto:
> ...
Facciamo un patto. D'ora in avanti rispondero' ai tuoi posto alle
seguenti condizioni:
1) Il post non deve superare le 100 righe.
2) Non deve comparoire prima della mia risposta al post precedente.
Ma per ora, dato che non sta bene fare leggi retroattive, rispondo ;-)
> Ripensandoci nemmeno questo � vero. La rappresentazione SU(2) ha gli
> stessi gradi di libert� della rappresentazione aggiunta, non la stessa
> dimensione. Anzi la dimensione della rappresentazione aggiunta
> dell'algebra comune di SU(2) ed SO(3) � tre come la dimensione di
> SO(3). Ne segue che la rappresentazione SO(3) ed aggiunta sono
> entrambe distinte dalla rappresentazione fondamentale dell'algebra del
> momento angolare.
Vediamo di rifarci ai principi primi.
Ci stiamo occupando di gruppi di Lie, che sono anche varieta'
(differenziabili) e che per comodita' supporro' anche connessi.
Dimensione del gruppo e' la sua dimensione come varieta': quella che
chiami "numero di parametri".
Niente a che fare in generale con la dim. delle rappresentazioni.
Rappresentazione di un gruppo G e' un omomorfismo "rho" di G in
Aut(V), gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale V (sui
reali o sui complessi).
Se rho e' un isomorfismo, la rappr. si dice "fedele".
La dimensione di V e' la dim. della rappresentazione.
Una rappr. e' irriducibile se non ha sottospazi propri invarianti.
E' riducibile in caso opposto.
E' completamente riducibile se esistono due s.spazi invar. la cui
somma e' V.
La definizione di rappr. fondamentale non mi e' chiara.
Puo' essere quella che dici: la rappr. di dimensione minima (a parte
quella banale, in cui tutti gli elementi di G vanno nell'identita').
Pero' questa def. ha un difetto: non e' sempre univoca (v. dopo).
Altra possibile definizione, valida per i gruppi definiti in modo
concreto, come gruppi di matrici: rappr. fond. e' quella con cui il
gruppo e' definito.
Passiamo alla rappr. aggiunta.
Considera TG_e (spazio tangente a G nell'elemento neutro).
Sia u un elemento di TG_e, gamma(t) una curva in G che parte da e con
vettore tangente u.
Se g \in G, costruisco gamma_g(t) = g gamma(t) g^{-1}: questa e'
ancora una curva come gamma. Sia u' il suo vettore tangente.
In questo modo ho definito un mappa in TG_e, e si dimostra che e'
lineare; e' anche un omomorfismo, determina quindi una rappr. rho di G
in TG_e.
Questa e' la rappr. aggiunta.
Per definizione la r. agg. ha dimensione pari alla dimensione del
gruppo.
(Nota che per definire la rappr. aggiunta non ho bisogno della
struttura di algebra di Lie, che e' definita in TG_e mediante i
commutatori.)
> Per� SO(3) e la rappresentazione aggiunta sono globalmente isomorfe?
> Cio� a dire esiste un'applicazione che conserva le propriet� di gruppo
> e che applica gli elementi di SO(3) invertibilmente negli elementi
> della rappresentazione aggiunta?
Stai chiedendo se la rappr. aggiunta e' fedele.
Nel caso di SO(3) la cosa e' banale, perche' la rappr. aggiunta
coincide con la definizione di SO(3): i generatori dell'algebra sotto
SO(3) si trasformano come vettori.
> Da questo seguirebbe che perche' SU(N) e' sempre semplicemente
> connesso e compatto e' gruppo fondamentale della propria algebra ed
> ha dimensione N.
>
> Mi sembra corretto, chiedo conferma.
No: SU(n), come dici dopo, ha dimensione n^2-1.
> Mentre siccome i suoi generatori sono in numero di N(N-1) risulta N =N(N-1)
> sse N=2 o N=0. E' corretto questo?
> Tuttavia se intendiamo C^2 come spazio vettoriale su C la sua
> dimensione � due, mentre se lo intendiamo come spazio vettoriale su R
> la sua dimensione � 4. Per questa osservazione sembrerebbe che la
> stessa nozione di rappresentazione fondamentale, espressa come
> "rappresentazione di dimensione minima" come si trova su certi libri
> di fisica, conduca ad enti matematici differenti secondo che si
> utilizzino rappresentazioni reali o complesse. Come stanno le cose in
> tal caso? Si usano sempre e solo rappresentazioni su spazi vettoriali
> complessi in fisica? Se si perch�?
La risposta sta nel "secondo lemma di Schur", che vale solo per rappr.
complesse:
"in una rappr. irriducibile ogni matrice che comuti con tutte le
matrici della rappr. e' multipla del'identita'."
Corollario: le rappr. irr. (complesse) di un gruppo commutativo sono
unidimensionali.
Prova a trovare il controesempio del lemma di Schur per una rappr.
irriducibile reale.
> Nel caso del gruppo delle rotazioni sono generalmente abituato a
> pensare che assegnato uno spazio vettoriale (complesso) di dimensione
> n=>2 esiste una ed una sola rappresentazione irriducibile di quella
> dimensione, che � identificata dall'autovalore degli operatori J^2.
> Come stanno le cose nella generalit� dei casi? E' sempre vero? Oppure
> esistono dei gruppi di Lie per i quali esistono pi� rappresentazioni
> irriducibili di dimensione assegnata?
Affermativo.
Possono esistere piu' rappr. irr. _non equivalenti_.
Questo e' gia' vero per tutti gli SU(n), con n>2.
Pensa alla rappr. fondamentale di SU(3) e alla sua coniugata (quark e
antiquark)
> Un esempio in tal senso mi sembra costituito dalle rappresentazioni
> del gruppo di Lorentz che non � compatto.
Infatti. La dim. delle rappr. irr. e' (2j+1)*(2k+1), e pensa in quanti
modi diversi puoi ottenere rappr. di dim. 12...
> In quel caso c'� poi un trucco generalmente molto usato, ma che mi
> pone delle difficolt�. Si tratta di passare dall'algebra in termini di
> J e K all'algebra J+iK e J-iK. La difficolt� � che con questo
> cambiamento di base, come lo chiamano alcuni autori, si potrebbe
> finire su un'algebra completamente distinta.
Gia': l'algebra di SU(2)xSU(2)
> Questo perch� i generatori sono generatori ottenuti derivando
> l'identit� rispetto a parametri reali ed invece J + i K e J - i K sono
> combinazioni complesse. Anche qui, come stanno le cose in effetti?
Confesso: questo non lo so. Ci deve entrare una cosa chiamata
"complessificazione", ma non so essere piu' preciso.
> La rappresentazione di SO(N) ha dimensione N mentre i generatori in
> tal caso sono N(N-1)/2. L'unico caso in cui la rappresentazione
> regolare e la rappresentazione ottenuta dai generatori hanno la stessa
> dimensione � quando N=3.
Mi sa che non ci siamo capiti, ma forse quello che ho detto sopra
risolve la quesitone.
Poi ora tiri in ballo la rappr. "regolare", termine che io conosco in
tutt'altro contesto.
> Per un generico N la rappresentazione fondamentale � data dal gruppo
> spin(N).
Chi e' spin(N)?
> Mentre per SO(N) l'unico caso in cui la rappresentazione fondamentale
> e la rappresentazione aggiunta sono la stessa rappresentazione �
> quando N=2.
No: la rappr. fond. ha dim. n, la rappr. aggiunta ha dim. n(n-1)/2.
> Infine consideriamo il caso del gruppo unitario U(1). Questo gruppo
> e' compatto, pero' non e' semplicemente connesso. Quale ne e' la
> rappresentazione del ricoprimento universale?
Domanda formulata male: devi chiedere quel gruppo ne e' il ric. univ.?
> Mi viene da pensare R+: corretto?
R+ come gruppo moltiplicativo, ma di solito si usa R come gruppo
additivo.
> Che pero' diversamente che nel caso di SO(3) ha la stessa
> dimensionalita' del gruppo.
Un gruppo e il suo ric. univ. hanno *sempre* la stessa dimensione,
dato che la relazione tra i due e' il quoziente rispetto a un gruppo
discreto.
In questo caso U(1) e' isomorfo a R/Z.
> Infine il gruppo U(1) che non ha topologia banale, e' l'unica altra
> rappresentazione irriducibile associata con il generatore delle
> traslazioni unidimensionale? Se si a cosa e' dovuta questa
> circostanza?
Tu continui a confondere gruppi e rappresentazioni...
Le rappr. irr. complesse di R sono x |--> exp(ikx), con k complesso
qualsiasi.
Sono tutte non equivalenti.
(Cerca le rappr. irr. reali.)
Ho scritto cosi' perche' sse k e' reale, la rappr. e' _unitaria_.
Dato che R non e' compatto, non e' garantito che tutte le sue rappr.
siano equiv. a rappr. unitarie, e infatti non succede.
(Come non succede per Lorentz.)
Le rappr. irr. di U(1) sono exp(ikx) con k intero.
Hai qui un altro esempio della situazione generale: se G e' un gruppo
non sempl. connesso, H il suo ric. univ., tutte le rappr. di G sono
anche rappr. di H, ma non viceversa.
E adesso basta...
O meglio: ti posso proporre la lettura di
ftp://osiris.df.unipi.it/pub/sagredo/gruppi
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Aug 14 2004 - 20:25:17 CEST