"rez" <rez_at_rez.localhost> wrote in message
news:slrnchm5la.hn.rez_at_m300a.mizar
> On Tue, 10 Aug 2004 11:36:12 GMT, Gianmarco Bramanti wrote:
> >Il 09 Ago 2004, 19:07, rez <rez_at_rez.localhost> ha scritto:
> Queste sono, se si vuole, ordinate in una tabella, ma
> non necessariamente. Nel senso che io posso effettuare la
> somma dei prodotti anche senza far intervenire nessuna
> matrice.
Certo anche perch� con pi� di tre indici manca lo spazio
per immaginarsi le rappresentazioni.
> Quando voglio fare cio` che nello schema delle matrici si
> dice il prodotto per la trasposta, basta infatti che io
> scelga di saturare l'"altro" indice.
>
> Chiarito questo, dico che le matrici [*] A_i^k e B^i_k
> sono l'una l'inversa dell'altra.
> Ora spiego il significato.
>
> - Premessa/pro-memoria/precisazione: B^i_k; B^k_i; B^j_h; ..
> sono *indistinguibili*.
Non sono mica muti quegli indici l�.
Ad esempio Z^2_1 e Z^1_2 possono
essere numeri diversi. Inoltre, ad
esempio: l'identit� Z^i_k = Z^k_i
significa che la matrice (Z^_)_ik = Z^i_k
� simmetrica, ma questo non � vero per
tutte le matrici Z^_ associate ad un tensore.
> - Perche' sia vero l'assserto, basta precisare che B^i_k
> e` il reciproco di B_i^k nella matrice ||B_i^k||.
> - N.B. "Il reciproco", ergo B^i_k e` indifferente
> intenderla come la reciproca della matrice data, ovvero
> l'inversa.
> - OK?
Possibile, se spieghi come definisci reciproca e come
definisci inversa, ed infine che numero metti dentro
il posto riga i colonna j della matrice dato un tensore
Z^i_j. Esistono, ripeto, due modi utili di fare questo
entrambi adeguati e coerenti:
I) l'elemento di riga i colonna j di Z^_ � Z^i_j
mentre di Z_^ � Z_j^i. Detto a parole nella matrice
metti gli elementi in modo che la corrispondenza
fra gli indici tensoriali e gli indici matriciali
avvenga in ordine tipografico. Il primo indice del
tensore � di riga, il secondo indice del tensore �
di colonna.
II) l'elemento di riga i e colonna j di Z � Z^i_j
e non � ammesso l'ordine inverso degli indici
covarianti controvarianti. In altre parole puoi
legittimamente sovrascrivere gli indici, in tal
caso il tensore Z^i_k ed il tensore Z_k^i sono
il medesimo tensore. Ed allora si verifica che
gli indici di riga sono sempre covarianti e gli
indici di colonna sono sempre controvarianti.
O viceversa, a tua scelta, una volta per tutte.
Nella convenzione I) le matrici associate con il
tensore di trasformazione covariante e con il
tensore di trasformazione controvariante sono
una inversa della trasposta dell'altra. Con la
convenzione II) le matrici associate con il tensore
di trasformazione controvariante e con il tensore
di trasformazione covariante sono una inversa
dell'altra.
Puoi fare una schedatura dei libri secondo le
convenzioni usate. Personalmente trovo che la
convenzione pi� comoda e flessibile sia la I,
mentre la convenzione II ha una utilit� in ambiti
specifici come in scienza delle costruzioni ad
esempio, ed anche in relativit�, per� credo che
nessun matematico userebbe mai la II convenzione
dovendo parlare di relativit�. La cosa pi� scomoda
della II convenzione � che non permette l'innalzamento
degli indici senza cambiare il nome del tensore
rappresentato. Ed alla fine occorre scrivere cose
come:
V^i_j = g^il g_jl Z^i_l
per dire che V � la trasformazione controvariante
associata con la trasformazione covariante.
La prima convenzione invece dice questo cos�:
Z^i_j = g^il Z_l^k g_kj
inoltre � naturale indicare con Z^i_j
le trasformazioni controvarianti.
Un caso di utilit� della seconda convenzione invece �
questo:
y^i e_i � un covettore. y^i V_i^l Z_l^k e_k
� ora lo stesso covettore.
Le saturazioni risultano pi� naturali e simili
alle notazioni di Dirac (che non a caso era un
laureato in ingegneria), mentre la prima convenzione
esprime la stessa trasformazione come:
Z^i_l y^l Z_i^j e_j
Tuttavia quello che � possibile per la seconda
convenzione � possibile anche per la prima. Infatti:
e' sufficiente porre V_l^i = Z^i_l. A questo scopo
io personalmente preferisco utilizzare un trucchetto:
conservo la lettera, ma specifico se il tensore deve
agire a destra o a sinistra con una freccina sopra
la lettera. Dove per agire a destra intendo che �
contratto il secondo indice in ordine tipografico
ed � contratto con un indice libero di tipo vettoriale
mentre per agire a sinistra che � contratto il primo
indice in ordine tipografico ed � contratto con un indice
libero di tipo vettoriale in modo da non lasciare alla propria
sinistra indici liberi non saturati.
Per trasportare un tensore dalla sinistra della lettera
alla sua destra basta girare la freccia e scambiare
l'ordine tipografico dei due indici. In questo modo
basta guardare la freccina su e l'ordine degli indici
per capire se quella trasformazione � covariante o
controvariante.
Inoltre se le frecce agiscono in direzioni opposte
e sulla stessa lettera e gli indici di coda alle
frecce sono saturati si tratta dell'identit�.
Come dire: due pezzi di una sola medaglia o come
ingranaggi identici a contatto che ruotano in
versi opposti ma spingono nella stessa direzione
(in questo caso entrambe ruotano la base covariante
e controvariante in direzioni contrarie in modo che
l'azione dei covettori sui vettori risulti conservata
ovvero se interpreti il cambio base come una trasformazione
attiva, ovvero lasci invariati i valori delle componenti
di elementi di base con indice uguale, le due azioni
risultano "parallele" se la interpreti in senso passivo,
ovvero lasci invariati i vettori ed i covettori sono le
componenti che controvariano).
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Received on Fri Aug 13 2004 - 12:38:05 CEST