Re: Momento angolare ed impulso in quantistica relativistica.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 10 Aug 2004 19:56:02 +0200

Giovanni Bramanti ha scritto:
> E' imbarazzante dopo avere studiato tanto trovarsi tanto in
> difficolta' con questi quesiti:
Eh eh... (sogghigno maligno).
Scherzi a parte, il problema non e' che tu abbia qualche difficolta':
sono abbastanza normali. E' che per risponderti ci vorrebbe ben altro
che un normale post...
Percio' non ti aspettare risposte complete; ma per una volta credo che
scrivero' piu' io di te :-)

> Classicamente nel riferimento del centro di massa il momento angolare
> di una particella e' zero. Se specifico lo stato di una particella con
> psi(x,t) e la sua evoluzione con p^2/2m esiste un riferimento del
> centro di massa? Direi tentativamente che psi(x-<x>,t) descrive la
> particella rispetto al centro di massa. E' vero che in tale rif. Lz=0?
A parte che non vedo perche' privilegiare Lz, io tornerei un po' a monte.

Affermo che per *una* particella il concentto di centro di massa in
m.q. (relativistica o no) non ha senso.

In m. classica "centro di massa" di un sistema significa due cose:
a) un punto, definito come sappiamo
b) un sistema di riferimento: quello in cui il cdm e' fermo, oppure
quello in cui il sistema ha q. di moto nulla.
Hai gia' capito: non puoi avere il cdm fermo in una data posizione e
insieme q. di moto nulla.

Se hai un sistema di punti (pensiamo a due soli, ma il procedimento
si generalizza), con le loro brave coordinate canoniche q1, p1, q2, p2,
puoi introdurre le coordinate del cdm Q, P=p1+p2 e le coordinate
relative q = q1-q2, p (non ho scritto le definizioni di Q e di p, che
contengono le masse, ma sicuramente le conosci).
Questa e' una trasf. canonica, per cui puoi benissimo vedere lo sp. di
Hilbert degli stati del sistema come prodotto tensoriale di H(cdm) e
di H(rel). Lo stato generico sara' ovviamente "entangled", ma puoi
decidere di restringerti al sottospazio P=0, il che vuol dire
"mettersi nel rif. del cdm".
Il mom. angolare orbitale del sistema (ricorda che il mom. ang.
richiede non solo di precisare il sistema di riferimento, ma amche il
"polo") rispetto all'origine e'
L = q1xp1 + q2xp2 = QxP + qxp.
Nel rif. del cdm il primo termine e' identicamente nullo e il secondo
si chiama di solito "mom. ang. _relativo_ al cdm", ma ora vedi che
occorre essere precisi. Indichiamolo con S.
Da qui in poi si va avanti tranquilli, perche' le componenti di S
hanno le solite relazioni di commutazione, ecc.

E' ora chiaro che se hai una sola particella non puoi fare niente del
genere.
Puoi fare due cose:
a) cambiare sistema di rif., con una trasf. di Galileo se sei in
teoria non relativistica
b) restringerti agli stati (all'_unico_ stato) in cui p=0.
Ammesso che serva a qualcosa, nel secondo caso hai uno stato in cui il
mom. angolare e' nullo, come si vede anche dal fatto che la f. d'onda
psi(x) e' costante dappertutto, quindi invariante per rotazioni.
Ma non e' quello che volevi, direi.

La prima alternativa invece manda q in q-vt e p in p-mv, essendo v la
velocita' del nuovo rif. rispetto al vecchio.
E' anche questa una trasf. canonica (v e' un c-numero) ma se fai i
conti vedi (e' ovvio) che nessuna scelta di v ti fa diventare L
identicamente nullo.
E' ovvio appunto perche' una trasf. canonica non puo' fare questo,
dato che Lx, Ly, Lz non commutano.

> Quello che mi risponderei da solo e' che il momento angolare e' non
> nullo in generale.
L'abbiamo visto.

> Ma quello che non riesco davvero ad esprimere e' questo quesito in
> formulazione di Dirac. Trovo la densita' di energia impulso, trovo la
> densita' di corrente, ma come esprimo il fatto che il centro di massa
> si muove di moto rettilineo uniforme? Tentativamente direi integro la
> densita' di massa in r (posizione spaziale) e trovo un valor medio, la
> difficolta' che incontro sta nel dimostrare che quando cambio
> riferimento questa densita' cambia come si deve.
Qui si' che mi viene da sogghignare :-)
Non sei mica il primo che si e' rotto la testa con questi problemi...

Ma in realta' i problemi sono due distinti.
1) Teoria relativistica (non quantistica) del centro di massa.
2) Applicazione alle particelle di Dirac.

Il primo problema e' trattato piu' o meno a fondo in molti testi di
relativita' (ristretta). Ne sai qualcosa?
Per ora ti dico solo che in relativita' cdm e mom. angolare sono
strettamente imparentati.
Formalmente, cio' discende dal fatto che i generatori del gruppo di
Poincare' sono appunto, (detto alla buona) quadrimpulso, mom.
angolare, centro di massa.
Ti e' noto questo?

> Per un sistema di masse relativistiche calcolo il quadrimpulso totale
> facilmente, ma se cerco di calcolare il centro di massa come devo
> procedere?
Appunto...
Ora e' un po' lunghetto da spiegare, e ci vogliono un po' di formule
con indici.
Se non trovi un posto dove e' spiegato come si fa, ti daro'
l'indicazione di un capitolo di mie lezioni.

> Legata con questa domanda c'e' ne' un'altra un poco piu' complessa:
>
> Se considero l'evoluzione temporale di uno stato che e' autostato di
> L_z siccome L_z commuta con p^2/2m rimane autostato di L_z. In m.q. ho
> delle regole di selezione basate sulla conservazione del momento
> angolare che pesano solo l'elettronico per processi fotoemissivi. La
> QED come esclude, se lo esclude, che il centro di massa acquisti
> momento angolare in fotoemissione?
Non sono sicuro di aver capito. Forse si', ma vorrei magari un esempio
piu' preciso, cosi' posso tentare una risposta piu' mirata.
                         

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Aug 10 2004 - 19:56:02 CEST