Il 10 Ago 2004, 19:56, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Giovanni Bramanti ha scritto:
> > E' imbarazzante dopo avere studiato tanto trovarsi tanto in
> > difficolta' con questi quesiti:
> Eh eh... (sogghigno maligno).
> Scherzi a parte, il problema non e' che tu abbia qualche difficolta':
> sono abbastanza normali. E' che per risponderti ci vorrebbe ben altro
> che un normale post...
> Percio' non ti aspettare risposte complete; ma per una volta credo che
> scrivero' piu' io di te :-)
Quello che mi lascia molto scoraggiato � di trovare cos� poco discusso
il problema a fianco di tanta naturalezza con cui il problema si pone,
questo in genere capita con argomenti che sono soggetto di ricerca
corrente, difficilmente un autore si azzarda a scrivere su un libro le
proprie conclusioni se sono rivedibili o oggetto di discussione. Per�
sono passati ormai tanti anni dalla nascita delle equazioni di Dirac.
> > Classicamente nel riferimento del centro di massa il momento angolare
> > di una particella e' zero. Se specifico lo stato di una particella con
> > psi(x,t) e la sua evoluzione con p^2/2m esiste un riferimento del
> > centro di massa? Direi tentativamente che psi(x-<x>,t) descrive la
> > particella rispetto al centro di massa. E' vero che in tale rif. Lz=0?
> A parte che non vedo perche' privilegiare Lz, io tornerei un po' a monte.
>
> Affermo che per *una* particella il concentto di centro di massa in
> m.q. (relativistica o no) non ha senso.
Ok.
> In m. classica "centro di massa" di un sistema significa due cose:
> a) un punto, definito come sappiamo
> b) un sistema di riferimento: quello in cui il cdm e' fermo, oppure
> quello in cui il sistema ha q. di moto nulla.
> Hai gia' capito: non puoi avere il cdm fermo in una data posizione e
> insieme q. di moto nulla.
D'accordo, ma un problema era capire se questo ha senso in
meccanica relativistica classica.
> Se hai un sistema di punti (pensiamo a due soli, ma il procedimento
> si generalizza), con le loro brave coordinate canoniche q1, p1, q2, p2,
> puoi introdurre le coordinate del cdm Q, P=p1+p2 e le coordinate
> relative q = q1-q2, p (non ho scritto le definizioni di Q e di p, che
> contengono le masse, ma sicuramente le conosci).
Si certo.
> Questa e' una trasf. canonica, per cui puoi benissimo vedere lo sp. di
> Hilbert degli stati del sistema come prodotto tensoriale di H(cdm) e
> di H(rel).
D'accordo a questo punto il problema che mi pongo � che in
rappresentazione degli impulsi � tutto chiaro, ed in
rappresentazione delle coordinate? Ovvero esiste una
rappresentazione delle coordinate per il c.d.m.?
Lo stato generico sara' ovviamente "entangled", ma puoi
> decidere di restringerti al sottospazio P=0, il che vuol dire
> "mettersi nel rif. del cdm".
No qui ho una seria difficolt�. Cio� finch� parlo del quadrimpulso
globale tutto ok. Il quadrimpulso del sistema atomo accoppiato con
la radiazione � una quantit� conservata, d'accordo, per� vorrei vedere
scritto su un libro una cosa come: ecco questa � la lagrangiana di
un atomo, queste sono le densit� degli impulsi. Densit� di momento
angolare, queste sono le regole di selezione che osserviamo a livello
spettroscopico, e che abbiamo dedotto nel caso di elettroni in campo
esterno determinato dai nuclei. Ecco queste regole di selezioni
discendono dalla conservazione di questo e quest'altro. Con questo
e questo limite. Esister� qualcosa del genere senza arrivare alla fisica
nucleare. Anche una discussione che derivi l'equazione di Dirac in
campo esterno come approssimazione ragionevolmente giustificata
del problema esatto.
> Il mom. angolare orbitale del sistema (ricorda che il mom. ang.
> richiede non solo di precisare il sistema di riferimento, ma amche il
> "polo") rispetto all'origine e'
> L = q1xp1 + q2xp2 = QxP + qxp.
> Nel rif. del cdm il primo termine e' identicamente nullo e il secondo
> si chiama di solito "mom. ang. _relativo_ al cdm", ma ora vedi che
> occorre essere precisi. Indichiamolo con S.
> Da qui in poi si va avanti tranquilli, perche' le componenti di S
> hanno le solite relazioni di commutazione, ecc.
>
> E' ora chiaro che se hai una sola particella non puoi fare niente del
> genere.
> Puoi fare due cose:
> a) cambiare sistema di rif., con una trasf. di Galileo se sei in
> teoria non relativistica
> b) restringerti agli stati (all'_unico_ stato) in cui p=0.
> Ammesso che serva a qualcosa, nel secondo caso hai uno stato in cui il
> mom. angolare e' nullo, come si vede anche dal fatto che la f. d'onda
> psi(x) e' costante dappertutto, quindi invariante per rotazioni.
> Ma non e' quello che volevi, direi.
Non so cosa voglio esattamente, se lo sapessi, forse non starei
a pormi questi problemi. Il momento angolare �
> La prima alternativa invece manda q in q-vt e p in p-mv, essendo v la
> velocita' del nuovo rif. rispetto al vecchio.
> E' anche questa una trasf. canonica (v e' un c-numero) ma se fai i
> conti vedi (e' ovvio) che nessuna scelta di v ti fa diventare L
> identicamente nullo.
> E' ovvio appunto perche' una trasf. canonica non puo' fare questo,
> dato che Lx, Ly, Lz non commutano.
>
> > Quello che mi risponderei da solo e' che il momento angolare e' non
> > nullo in generale.
> L'abbiamo visto.
>
> > Ma quello che non riesco davvero ad esprimere e' questo quesito in
> > formulazione di Dirac. Trovo la densita' di energia impulso, trovo la
> > densita' di corrente, ma come esprimo il fatto che il centro di massa
> > si muove di moto rettilineo uniforme? Tentativamente direi integro la
> > densita' di massa in r (posizione spaziale) e trovo un valor medio, la
> > difficolta' che incontro sta nel dimostrare che quando cambio
> > riferimento questa densita' cambia come si deve.
> Qui si' che mi viene da sogghignare :-)
> Non sei mica il primo che si e' rotto la testa con questi problemi...
>
> Ma in realta' i problemi sono due distinti.
> 1) Teoria relativistica (non quantistica) del centro di massa.
> 2) Applicazione alle particelle di Dirac.
>
> Il primo problema e' trattato piu' o meno a fondo in molti testi di
> relativita' (ristretta). Ne sai qualcosa?
Non so, io ho studiato elettrodinamica e relativit� sul Jackson e sul Pauli.
Poi da Dirac, e da Biorkern Drell.
Il Pauli tratta abbastanza bene le densit�, per� non ricordo bene se esiste
un qualche integrale delle densit� che ha le propriet� di di essere il
centro
di massa. Mi sembra che se integro usando come peso il d^3p/p0 ed il
-i d/dp trovo un tempo ed un luogo e questi trasformano come quadrivettori
per� che ne faccio di ci�? Non solo posso fare questo discordo in termini
di rappresentazione delle posizioni, per� non capisco come trattare questi
oggetti. Devo riprendere gli integrali delle componenti del momento
angolare.
> Per ora ti dico solo che in relativita' cdm e mom. angolare sono
> strettamente imparentati.
> Formalmente, cio' discende dal fatto che i generatori del gruppo di
> Poincare' sono appunto, (detto alla buona) quadrimpulso, mom.
> angolare, centro di massa.
> Ti e' noto questo?
Si, devo riflettere meglio su quello che implica sul discorso e
sull'impostazione mentale che avevo presente in ambito classico.
> > Per un sistema di masse relativistiche calcolo il quadrimpulso totale
> > facilmente, ma se cerco di calcolare il centro di massa come devo
> > procedere?
> Appunto...
> Ora e' un po' lunghetto da spiegare, e ci vogliono un po' di formule
> con indici.
> Se non trovi un posto dove e' spiegato come si fa, ti daro'
> l'indicazione di un capitolo di mie lezioni.
>
> > Legata con questa domanda c'e' ne' un'altra un poco piu' complessa:
> >
> > Se considero l'evoluzione temporale di uno stato che e' autostato di
> > L_z siccome L_z commuta con p^2/2m rimane autostato di L_z. In m.q. ho
> > delle regole di selezione basate sulla conservazione del momento
> > angolare che pesano solo l'elettronico per processi fotoemissivi. La
> > QED come esclude, se lo esclude, che il centro di massa acquisti
> > momento angolare in fotoemissione?
> Non sono sicuro di aver capito. Forse si', ma vorrei magari un esempio
> piu' preciso, cosi' posso tentare una risposta piu' mirata.
E' quello che dicevo prima: dedurre le regole di selezione da
un fondamento esatto. E mostrarne i limiti eventualmente, perch�
mi immagino che esistano effetti di interazione spin nucleare
spin elettronico radiazione elettromagnetica. Forse occorre prima
sviluppare il discordo delle regole di selezione da una base classica
di questi argomenti, per� vorrei prima comprendere a che livello posso
distinguere per esempio lo spin e la parte angolare di un elettrone libero
e se per esempio esiste un riferimento in cui la parte angolare
dell'elettrone
si riduce allo spin.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Aug 10 2004 - 20:42:13 CEST