Il 29 Lug 2004, 16:30, "Rey" <nospamnospamnospam_at_nospam.it> ha scritto:
> Buongiorno.
> Sto studiando per conto mio la qft e avrei due domande.
> 1) Perch� si assume che i bosoni di gauge debbano trasformare secondo la
> rappresentazione aggiunta del gruppo? E perch� i quarks secondo la
> fondamentale?
La scelta della rappresentazione fondamentale per i quarks discende dalla
semplice connessione del gruppo di gauge SU(N). In generale, la necessita'
della rappresentazione aggiunta per i campi bosonici, ovvero la necessita'
di utilizzare una rappresentazione del gruppo con una dimensione pari al
numero di generatori dipende dalla circostanza che l'azione infinitesima
del gruppo di gauge, da cui sortiscono i termini di corrente aggiuntivi che
i campi di gauge riassorbono ha dimensione pari al numero di generatori.
Questo e' vero per le teorie di gauge nate sulla scia di Yang-Mills con quei
termini che erano stati suggeriti dall'idea di questi autori di
generalizzare
la struttura abeliana della teoria di gauge dell'elettrodinamica.
Non so se c'e' un perche' piu' generale, ci vorrebbe uno con il senso
della generalita' che aveva Poincare' per rispondere, nel senso che questa
scelta
consente di ottenere l'invarianza di gauge richiesta, ma non saprei
dirti se e' il modo piu' generale per formulare una teoria con questa
simmetria, di certo segue il modo scelto nel 1954 da Yang e Mills i quali
mostrarono che la richiesta di invarianza locale di gauge rispetto ad
un gruppo che rimescoli campi legati in una densita' lagrangiana, adatta
per una teoria dinamica, con quadrimpulsi fra campi spinoriali,
(consideravano campi di spin 1/2, ed il modello di Gellmann pure impiega
campi spinoriali, e per campi spinoriali la densita' di quadrimpulso e' una
forma bilineare fra i campi, che coinvolge la derivazione di un campo alla
volta)
puo' essere ottenuta con l'aggiunta di campi di gauge (i bosoni di gauge)
che
compensino l'effetto delle derivate. Ora la simmetria di gauge e' una
simmetrica
locale che agisce sui campi, in accordo con la rappresentazione
esponenziale,
come exp( i t f(x)) dove t sono i generatori dell'algebra di lie associata
con il
gruppo, mentre f(x) e' una funzione vettoriale dello spazio tempo, con tante
componenti quanti sono i generatori dell'algebra di lie associata al gruppo
di
gauge. L'algebra di questi generatori e' specificata dalle regole di
commutazione:
[t^i, t^j]=i f^{ijl} t^l con le costanti di struttura f derivate spaziali
degli elementi
del gruppo di gauge conducono a sommare ai termini di impulso dei termini
che derivano dalla derivata di exp(i t f(x)) e che sono per ogni derivata
proporzionali ai generatori t.
Occorre allora descrivere la struttura della teoria per vedere l'effetto di
questi campi:
Se la teoria che contiene elementi di densita' lagrangiana
di tipo impulso, su campi spinoriali, deve contenere una parte dinamica
di Dirac per ciascuno dei campi composta da un termine di impulso:
i/2( sum psi^bar [gamma_mu d^mu] ^ {doppia freccia} psi)
l'azione aggiuntiva che deriva dalla derivata doppia e'
dove psi rappresenta la collezione dei campi e l'elemento interno
agisce in modo diagonale. [Spero ti sia familiare il senso dell'operatore
con doppia freccia, lo trovi scritto su molti libri come una freccina che
punta sia a destra che sinistra sopra l'operatore e significa che
l'operatore
scritto sotto si intende applicato con segno piu' al campo
psi e con segno meno al campo psi^bar. Il campo psi^bar e' l'aggiunto con
la parita' applicata a destra, se ricordi la teoria di Dirac ti e'
certamente noto
che la parita' e' richiesta dalla circostanza che le rappresentazioni del
gruppo
di Lorentz implementate dai campi bi-spinoriali non danno una
rappresentazione unitaria ma solo pseudo-unitaria, il senso di questa
pseudo-unitarieta' e' che nella rappresentazione dei bispinori alcuni
generatori sono hermitiani ed altri antihermitiani, per potere scrivere
l'aggiunto del campo in modo semplice e' richiesta l'implementazione entro
il gruppo della parita'. (Una rappresentazione unitaria esiste generalmente
solo per gruppi di trasformazione compatti), mentre il gruppo di Lorentz
non e' compatto. In particolare il gruppo di Lorentz con parita' ammette
nell'algebra indotta dalla scelta dei bispinori (soluzioni dell'equazione di
Dirac)
una rappresentazione irriducibile chiusa per aggiunzione.
L'aggiunto della rappresentazione di una trasformazione di Lorentz
e' la coniugata per parita' della rappresentazione della trasformazione
di Lorentz inversa].
C'e' poi un termine dinamico di massa:
M psi^bar psi
dove M agisce diagonalmente su tutte le componenti di campo,
eventualmente con masse diverse per ogni campo.
A questo punto c'e' la parte piu' significativa delle teorie di Gauge:
i termini di interazione non diagonali fra i campi spinoriali ed i
campi bosonici che si postulano della forma:
g/2 (psi^bar)^l gamma_mu (T_j)_{lm} psi^m A^j_mu
le matrici gamma usano per rendere vettoriali gli elementi di
matrice fra componenti di campo differenti. Le componenti di
campo sono accoppiate dalle matrici (T_j)_{lm} ai diversi campi
bosonici A, queste matrici sono scelte fra i generatori del gruppo
di simmetria. Infine c'e' la parte di lagrangiana che prescrive la
dinamica dei bosoni. Questa somiglia alla lagrangiana della
QED, in piu' prevede termini di autointerazione dei campi
bosonici. Quindi nei tensori cromodinamici, (che sta per generalizzazione
di tensore elettromagnetico) oltre alle derivate antisimmetriche
dei campi bosonici compaiono dei termini quadratici nei campi.
Descritta sommariamente la struttura della teoria possiamo
osservare che
> 2) Mi sapreste indicare testi o articoli che trattino l'atomo di idrogeno
in
> QED? Capisco l'importanza delle matrici di scattering e del calcolo di
g-2,
> per� non trovare in nessun posto alcune considerazioni su come la teoria
si
> comporta e va utilizzata in caso di stati legati mi sembra una mancanza
> enorme.
> Spero che la prima domanda non voglia significare che non ho capito nulla.
> Grazie a voi
> Rey
Ultimo capitolo del Weinberg. Tratta del Lamb cita un poco di letteratura,
poca,
sviluppa l'equazione di Dirac per un atomo nel potenziale elettromagnetico,
calcola gli sviluppi di tutti i termini correttivi introdotti via equazione
di Dirac
all'equazione di Scrhoedinger non relativistica, li commenta, fornisce una
tabella
con gli elementi di matrice fra livelli per l'equazione di Dirac della base
delle
matrici 4*4 che permettono di scrivere qualunque operatore di interesse
nella
rappresentazione di Dirac.
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Received on Thu Aug 05 2004 - 21:37:21 CEST