Il 02 Ago 2004, 14:07, rez <rez_at_rez.localhost> ha scritto:
> On Thu, 29 Jul 2004 10:08:19 GMT, Denni wrote:
>
> >in fisica sento spesso parlare di covariante e controvariante riferiti ad
> >equazioni ed altro.
> >C'� qualcuno che mi pu� spiegare cosa significa?
>
> Ti aggiungo due parole alla risposta completa e rigorosa
> che ho visto che ti ha dato il forte Gianmarco.
>
> Riguardano vettori e tensori quando si cambia il sistema
> di coordinate: covariante se si trasforma come i vettori
> della nuova base, contravariante [o controv.] se invece
> si traforma come le componenti di un vettore.
>
> Le rispettive matrici di trasformazione sono l'una
> l'inversa dell'altra, quindi in pratica e` una sola.
>
> Si usa mettere in alto gli indici se contravarianti,
> in basso se covarianti.
>
> --
> Ciao, | Attenzione! campo "Reply-To:" alterato |
> Remigio Zedda | posta: ti.ilacsit_at_zoigimer <-- dx/sn ;^) |
>
> -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1
>
Tradotta in simboli la proposta di rez prende questa forma:
e_i sono i simboli per indicare una base di vettori.
y^i sono i simboli per indicare le coordinate del vettore y in questa base.
adesso adotto il suggerimento (corretto) di rez di indicare i vettori
controvarianti
con gli indici in alto, (in accordo diremo controvariante l'innalzamento e
covariante
l'abbassamento).
Allora dire covariante significa dire che trasforma come i vettori della
nuova base.
Cioe' se i nuovi vettori di base in funzione dei vecchi vettori di base
prendono la
forma a'_i=A_i^ja_j diremo che A_i^j e' la matrice della trasformazione
covariante.
Nello schema di rez i vettori sono sempre gli stessi e quello che cambiano
sono
rispettivamente le basi e le componenti dei vettori rispetto ai vettori di
base.
Dunque se y'^i = A^i_j y^j diremo che A^i_j e' la matrice della
trasformazione
controvariante. Risulta verificato che A^i_j A_i^l = g_j^l =
deltakronecker(j,l).
Nota che A^i_j ed A_i^j non sono affatto la stessa matrice. E che se ne
interpreti
le componenti nell'ordine tipografico come indice di riga ed indice di
colonna
sono una trasposta dell'inversa dell'altra. Vale comunque un trucco che
evita
di doversele calcolare per esteso. Se A_i^j lascia invariato l'elemento di
lunghezza
si puo' scrivere A_i^j = g_{il} A^l_m g^{ml} dove g_il g^lm =
deltakronecker(i,m).
Dunque nella nota che avevo scritto c'e' da scambiare gli indici che ho
scritto
in alto con gli indici che ho scritto in basso, tanto nella prima quanto
nella
seconda parte della nota. (Che suona tanto come "peccato che qui e qui in
italiano si dica nello stesso modo" della canzone di Guccini). Ed inoltre
nelle
diciture innalzamento covariante ed abbassamento controvariante, occorre,
coerentemente scambiare le parole innalzamento ed abbassamento.
(Che invece ricorda il facimm' ammuina, scusa la confusione)
Altra svista:
allora risulta che cov{A*}=controv{A}.
manca una stellina a secondo membro:
cov{A*}=[controv{A}]*
Infine un'osservazione che non ho esplicitato nella seconda parte della nota
e' la notazione di Einstein per la quale si somma sugli indici ripetuti
quindi
v^i * a_i = v sta per sum_i v^i a_i.
Cio' fatto va tutto
a posto e coerente con la notazione di Rez che e' anche la notazione di
Einstein,
cioe' a dire che data una forma bilineare non degenere su uno spazio
vettoriale
ed assegnata una base {a} in questo spazio, allora i vettori della base dei
co-vettori duali {a*} definiti in accordo con la regola di Kronecker,
trasformano
come le coordinate di un vettore rispetto alla base Ac {a}, e la matrice
associata
coincide con lo jacobiano del cambianto di coordinate nel caso differenziale
..
Ricordiamo che la definizione di coordinate in un ambiente vettoriale dove
sia definita
una forma bilineare G( v,w ) dipende dalla scelta di una base a_i definiamo
coordinata
i-ma di v il numero G(v,a_i). Queste coordinate risultano uguali alle
componenti del
vettore espresso nella base controvariante a^i. Tutto questo si verifica
perche'
a*_i(v)=a*_i(v_j a^j)=v_i
Rez, se non ci fosse bisognerebbe inventarlo :-).
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Received on Tue Aug 03 2004 - 16:47:45 CEST