Il 29 Lug 2004, 12:08, "Denni" <govonid_at_tin.it> ha scritto:
> in fisica sento spesso parlare di covariante e controvariante riferiti ad
> equazioni ed altro.
> C'� qualcuno che mi pu� spiegare cosa significa?
>
La parte matematica di base richiede le nozioni di spazio vettoriale,
spazio duale, trasformazione lineare, base, matrici associate ad una
trasformazione lineare, forme bilineari non degeneri. Compresa la parte
lineare la parte differenziale richiede un piccolo sforzo iniziale ma
risulta piu' semplice ed intuitiva.
In uno spazio vettoriale assegnata una trasformazione dello spazio
vettoriale
in se esiste una trasformazione dello spazio duale in se che lascia
invariato
il valore del generico funzionale sul generico vettore.
Co-variante significa varia come i co-vettori, contro-variante significa
varia come i vettori quando si richieda l'invarianza dei valori dei
funzionali lineari dopo la trasformazione simultanea.
In simboli: cov: V* -> V*
controv: V -> V
per ogni f in V* e per ogni v un V risulta cov(f)[controv(v)]=f(v).
Per inciso si osserva che se in V si pu� assegnare una base finita {A} in
modo che in V* risulti definita una base duale {A*} secondo la regola
di Kronecker che identifica con a*^i l'elemento di V* per il quale
risulta a*^i{aj}=delta_ij allora risulta che cov{A*}=controv{A}.
E si dimostra che in queste basi le matrici associate alla
trasformazione cov ed alla trasformazione controv sono
una inversa della trasposta dell'altra.
Se sullo spazio vettoriale V � data una forma bilineare non degenere
che supponiamo simmetrica, [G(v,w)=0 per ogni v se e solo se w=0]
allora esiste un'applicazione Ic da V in V che indichiamo con il
nome di innalzamento covariante per la quale si verifica l'identita'
G(Ic(a_i),a_j)= delta_ij. Si pone a^i=Ic(a_j).
E si dimostra che
Sum_j G(a^i,a^j})*G(a_j,a_l)=delta_il Di conseguenza
risulta che a^i= Sum j G(a^i),a^j)a_j e che l'applicazione
inversa dell'innalzamento covariante, che indichiamo con
il nome di abbassamento controariante e che scriviamo Ac
e' data da Sum_j G(a_i,a_j)a^j = Ac(a^i) e verifica l'identita'
a_i=Ac(a^i). L'origine di queste denominazioni riposa sulla
circostanza che vale per definizione l'identita'
G(a^i,a_j)=a*^i(a_j). Che fa corrispondere al valore del prodotto
bilineare di un vettore dello spazio vettoriale con un qualsiasi
vettore il valore di un particolare covettore su un particolare
vettore.
La parte differenziale richiede nozioni un poco piu' complesse
per essere espressa in quanto riguarda non piu' trasformazioni
lineari semplici bensi' parametrizzazioni di trasformazioni
lineari. Prerequisito sono la nozione di varieta', di spazio
tangente, la nozione di spazio cotangente, di trasformazione
differenziabile, di jacobiano, di trasformazione inversa ed
i teoremi relativi all'inversione delle trasformazioni di
coordinate.
In geometria differenziale, se � stato assegnato un sistema di
coordinate su una variet�, dotata di struttura metrica descritta
da una forma bilineare non degenere che ha per argomento i vettori
dello spazio tangente e se si considera una trasformazione delle
coordinate sulla varieta' che associa alle coordinate k(p) di in
un punto p le nuove coordinate y'=y'(p)=y'(y)=y'(y(p)), essendo y=k(p)
le coodinate di p prima del cambiamento.
Dove ho indicato con k le funzioni dalla varieta' in R^n e con
lieve abuso di notazione ho indicato le funzioni che applicano
il punto p nelle sue coordinate y in y' con lo stesso nome della
variabile e delle funzioni di trasformazione. Anche se appare
un poco difficile da leggere questo consente di alleggerire
la notazione. In particolare risulta che p(y'(y))=p(y).
Allora le matrici jacobiane dy'/dy prendono il nome di matrici
di trasformazione covariante e definiscono delle trasformazioni
lineari della base dy, nello spazio co-tangente ad f(p), data
dalle forme dy^i che si annullano sui vettori v_j=dp(y)/dy_j
se j diverso da i e che valgono uno se j=i, in simboli:
dy^i(v_j)=dy^i(dp(y)/dy_j)
Risulta dunque che
dy'^i(v'_j)= [ dy'_i/dy_l ] dy^l(v'_j)= [ dy'_i/dy_l ] dy^l(dp(y')/dy'_j) =
= [ dy'_i/dy_l ] dy^l(dp(y)/dy_k dy_k/dy'_j)=[ dy'_i/dy_l ] dy^l(v_k
dy_k/dy^'_j)=
=[ dy'_i/dy_l ] delta_lk dy_k/dy^'_j = delta ij. Per definizione di matrice
inversa.
Torniamo ora alla forma bilineare non degenere che abbiamo considerato
sulla varieta', se risulta che G(v'_i,w'_j)= G(v_i,v_j) allora la
trasformazione
di coordinate e' un'isometria e possiamo semplificare le notazione alla
maniera che trovi esposta nel volume di relativita' generale di Einstein.
L'elemento di lunghezza e' g_ij dy^i dy^j , A^i_j = dy'_i/dy^j,
A_l^j = dy_j/dy'_l
A^i_j A_l^j = g^ij g_lj = delta_ij.
L'innalzamento covariante si ottiene contraendo con g^ij l'abbassamento
controvariante moltiplicando per g_ij, la prima trasformazione A che
abbiamo scritto prende il nome di trasformazione covariante, la seconda
di trasformazione controvariante o trasposta, la denominazione diventa
piu' intuitiva se pensiamo che se il cambiamento di coordinate e'
lineare allora la trasformazione covariante e' quella che trasforma
come le coordinate, mentre quella controvariante e' la trasformazione
trasposta dell'inversa che trasforma in modo "contrario" nel senso
che da' a questa parola la richiesta di invarianza.
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Received on Fri Jul 30 2004 - 17:42:11 CEST