Il 25 Lug 2004, 11:51, epsiromenos_at_yahoo.it (gianfrancois) ha scritto:
>
> Innanzitutto ciao, e grazie tante per i chiarimenti. Poi...
>
> PERFETTO!?!
>
> Ora cosa succede quando entriamo nell'ambito quantistico?
> Mi spiego meglio... perch� la frase che non mi torna � "mentre nella
> teoria classica la gauge era fissata, nella teoria quantistica
> quest'arbitrariet� di scelta rimane"...
> Ti ricorda qualcosa? E' possibile che sia questa la differenza? L'ho
> trovata su certi appunti sotto il paragrafo "Quantizzazione covariante del
> campo elettromagnetico"...
> Se fosse vera mancherebbe una relazione, analoga a quella classica - cio�
> quella d'aver fissato f=0 (gauge di coulomb) ... e quindi i gradi libert�
> ritornerebbero tre. Sbaglio? E se si, dove?
Non sbagli, non sono un esperto, ma il numero di gradi di liberta', nel
senso di
funzioni libere di variare e' tre anche classicamente, hai infatti la
liberta' sulle correnti.
Questo va bene anche nella formulazione lagrangiana covariante in cui i
campi fermionici
sono accoppiati ai fotoni perche' la liberta' di aggiungere una funzione
quadridiv(epsilon)
implica la conservazione della corrente, in virtu' del teorema di Noether.
Conclusivamente, in un
certo senso potresti dire che il terzo grado di liberta' del sistema
elettromagnetico non lo
vedi in quanto e' nascosto nell'accoppiamento (che da' un vincolo in piu')
fra campi e materia.
D'altra parte se non avessi l'equazione d_mu F^{mu,nu} = j non avresti il
vincolo [quadratello]A=qradrigrad(quadridiv(A)) nemmeno classicamente. In
parole conclusive:
se fissi lo stato delle correnti allora i gradi di liberta' per il campo
sono due, ma se non fissi
le correnti nei hai uno in piu', hai cioe' la possibilita' di specificare lo
stato di corrente. Ed in
un certo senso in elettrodinamica quantistica non puoi fissare lo stato
fermionico a tutti i
tempi. E pure le condizioni iniziali del sistema implicano la specificazione
dello stato
complessivo, entangled, senza la possibilita' generale di principio di
fissare lo stato
del sistema. Quando puoi applicare il principio di cluster decomposition
puoi recuperare
gli schemi classici.
Tuttavia mi devo ripetere noiosamente su altri punti: nella teoria classica
in presenza
di sorgenti non puoi fissare f=0, la gauge di Coulomb la formuli in un altro
modo, dici
che il potenziale scalare non dipende dal tempo, imponi che E=-grad(phi)-1/c
dA/dt,
che B=rot(A) e dici che div(A)=0. Con questi vincoli, i gradi di liberta',
nel senso del
massimo numero di funzioni indipendenti che descrivono lo stato del campo
elettromagnetico
sono due. I potenziali di Lienard-Wiechert essenzialmente aboliscono questi
gradi
di liberta' con una scelta causale. Che essenzialmente dice che in assenza
di sorgenti
non ci sarebbero campi, il che si puo' dedurre dalla forma che hanno i
potenziali dopo
l'eliminazione dei potenziali anticipati. Per dire la stessa cosa nel
linguaggio della teoria
dei campi perturbativa, in cui il campo elettromagnetico e le sorgenti
vengono considerati come
campi indipendenti accoppiati da una lagrangiana, con hamiltoniana associata
ed operatore
di evoluzione temporale, devi imporre che il numero di fotoni
non e' conservato, scegliere un ordinamento normale, utilizzare come scratch
uno stato
di vuoto e come base degli stati ottenuti applicando gli operatori di campo
e fare delle
scelte sulla forma dei propagatori. Allora imporre la
gauge di lorentz cioe' che quadridiv(A)|f>=0 comporta che f non e' autostato
del campo, e di conseguenza esistono elementi di matrice fra stati con un
numero di fotoni diversi.
Se pretendi di fissare il numero di fotoni e di fissare la gauge di Lorentz
ti trovi che non riesci a
conservare la corrente. Siccome questa situazione era molto sgradevole Fermi
propose di
considerare uno schema in cui il numero dei fotoni e' fissato, la gauge di
Lorentz non e' verificata
su tutti gli stati accessibili, ed in cui si impone la gauge di Lorentz
solamente su una sezione detta
sezione degli stati fisici di questo spazio di Hilbert. Sugli stati fisici
la corrente e' conservata.
Feynmann propose uno schema con funzioni di Green stabilite in modo da
evitare ogni riferimento
a stati di polarizzazione non trasversale e ad altri imbarazzanti schemi a
contenuto non immediamente
riferibile ad osservazione, includendo esplicitamente il termine di
quadridivergenza, ovvero evitando di
imporre che fosse nullo. Uno dei primi esercizi, in cui uno studente che
impara ad usare i diagrammi di
Feynmann si cimenta, consiste nel verificare che imponendo la conservazione
della corrente in
un'ampiezza di scattering ci sono dei termini di propagatore che
sistematicamente si annullano,
sono quelli che si chiamano termini longitudinali.
> Ecco, vorrei capire finalmente perch� c'� questa discriminazione... se c'�
> una ragione intuitiva che mi chiarisca ulteriormente le differenze e le
> analogie tra ambito classico e quantistico - visto che, come bene hai
> detto all'inizio della tua risposta, il formalismo covariante � solo una
> questione di notazioni.
Attenzione che pero' la covarianza e' intrinseca alle equazioni di Maxwell.
Solo che
nella formulazione di Maxwell e' difficile da riconoscere, fu Poincare' a
notarlo prima.
Mi sembra che il modo piu' semplice di intuire cosa succede con la
quantizzazione
e' osservare che il numero di fotoni (come il numero dei fermioni del resto)
non e'
una quantita' conservata. Pero' lo schema di quantizzazione suggerisce che
la
storia non e' finita, la facilita' con cui Feynmann ha impostato uno schema
statistico
per la deduzione delle ampiezze e delle funzioni di Green ha suggerito la
possibilita'
di considerare le fluttuazioni di vuoto come grandezze importanti da
studiare per
comprendere di piu' la natura delle cose. Allora risulta pacificamente che
se la
corrente e' conservata sul vuoto come su stati fisici assegnati, tuttavia
la fluttuazione della corrente non e' nulla. Questo si trova anche senza
trattazione
statistica, ma la trattazione statistica suggerisce che un po' di fisica la
gauge
la contiene, solo che in media, in uno spazio flat, non te ne accorgi al
momento
primo, ma solo al momento secondo. Stesso discorso per la fase
delle funzioni d'onda che nelle trattazioni flat (come sono tutte le
trattazioni quantistiche
fino al tempo di Wigner ed oltre) viene arbitrariamente eliminata dagli
spazi di Hilbert,
ed infatti fai tutta la meccanica quantistica classica e pure
l'elettrodinamica
in spazi proiettivi.
> Comunque grazie ancora, e mi appello alla tua pazienza scusandomi nel caso
> mi fosse sfuggito qualcosa...
>
> :-p
>
>
>
> --
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