Il 24 Lug 2004, 21:17, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Mi limito strettamente all'ambito classico, per evitare addizionali
> casini.
> La formulazione covariante non aggiunge e non toglie niente: per
> questo problema e' solo una questione di notazioni, per cui non la
> uso.
> Basta pensare a campi nel vuoto, perche' il problema sta tutto li'.
>
> Puoi trattare la questione o dal punto di vista dei campi o dai
> potenziali.
Provo a ri-trattare la questione con i potenziali e con la notazione
covariante.
Le equazioni di Maxwell nel caso libero possono essere scritte in termini
di F^{mu,nu}: il tensore antisimmetrico
costruito completando antisimmetricamente la scelta F^{0,i} = E_i
ed F^{i,j} = - eps_ijk B_k. Oppure, a scelta, la sua duale
nella quale il ruolo di E e di B sono scambiati. I segni di E e di B
potrebbero
essere sbagliati pero' visto che non ho specificato le sorgenti posso
salvare
le equazioni complete con una scelta opportuna della forma covariante delle
sorgenti. Infatti nel passaggio da indici covarianti ad indici
controvarianti il
segno relativo di E e B cambia.
Si verifica che le equazioni prendono la forma particolarmente simmetrica:
d_mu F^{mu,nu} = J^mu.
d_mu F_{nu,rho} + d_rho F_{mu,nu} + d_nu F_{rho,mu} = 0
Per risolvere questo sistema osservo che se derivo la seconda equazione
rispetto a mu ottengo:
[quadratello] F_{nu,rho} = d_rho J_nu - d_nu J_rho
e che le soluzioni di questa equazione contengono tutte le soluzioni della
equazione precedente che sono anche soluzioni per la prima equazione.
Cerco allora la soluzione piu' generale per questa
equazione ed impongo che sia soluzione delle equazioni di partenza.
Per questo ragiono in questo modo: opero la trasformata di Fourier delle
equazioni di partenza ed osservo che F^{mu,nu}(k) puo' essere scritta come
somma di una parte off-shell (k^2 diverso da zero) e di una parte
on-shell (k^2=0 ). La parte off shell si scrive identicamente:
k^mu A^nu - k^nu A^mu posto A^nu = J^nu/k^2. La piu' generale soluzione
on-shell la otteniamo come limite distribuzionale di soluzioni off-shell a
questo
scopo scriviamo J = {J - J delta(k^2)} + {[J + k^2f ] delta(k^2)} = J_off +
J_on
Siccome il termine fk^2 viene aggiunto on-shell proporzionalmente
a k^2 non implica differenza alcuna nella antitrasformata di J.
Indichiamo con {a}={1/k^2} l'insieme di tutte le approssimanti in senso
debole di soluzioni di k^2 a = 1. Posto A = a J risulta:
F^{mu,nu}(k) = k^mu A^nu - k^nu A^mu che si divide naturalmente in una
parte on-shell ed in una parte off shell. Nel caso che j=0 solo la parte
on-shell e' diversa da zero e dipende da quattro funzioni di tre variabili.
E precisamente: A=f. Occorre ora controllare che le due equazioni
di partenza siano effettivamente verificate.
la prima equazione del sistema implica che
k^2 A^nu = k^nu (quadridiv A) da cui:
A^nu = a k^nu(quadridiv f) dove a e' sempre un elemento nello spazio delle
distribuzioni che verificano l'equazione a k^2 =1 .
La seconda equazione invece e' identicamente verificata.
Specificando la distribuzione a e la quadridivergenza abbiamo
la soluzione piu' generale del sistema. Se in gauge di Lorentz
scegliamo la distribuzione di Feynmann 1/(k^2-ieps) imponiamo
l'assenza di campo. Ovvero in assenza di sorgenti non c'e' segnale.
In tal senso la scelta di 1/(k^2-i eps) corrisponde ad una scelta fisica
di causalita'.
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Received on Sun Jul 25 2004 - 21:41:21 CEST