Re: vapore

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 09 Jul 2004 20:54:38 +0200

Alex ha scritto:
>> Scusa, diff. di concentrazione e gradiente di pressione non sono la
>> stessa cosa?
> Non credo....se consideri che i gas sono diversi! Mi spiego: se metto
> in un recipiente diviso a met� da un separatore duer gas diversi alla
> medesima pressione, rimane il fatto che se tolgo il diaframma
> imprmeabile ho un flusso dato dal gradiente di concentrazione e non di
> pressione (nota: ora sto trascurando la gravit�)
Beh, ma io intendevo (ovviamente) pressione parziale!

> Non mi � chiarissimo quello che scrivi sopra.
Piu' che probabile: ho cercato di essere sintetico, e forse non si
capiva niente...

> Io ho interpretato la cosa cos�, pensando ad ogni gas separatamente.
> Pesiamo alla sola CO2 in una stanza. Pi� gi� scendo e pi� aumenta la P
> e la densit� (la concentrazione). Prendo un "piano" parallelo al
> pavimento (ortogonale quindi all'unico - ipotizziamo - gradiente di
> conc.) di spessore dz. Il gradiente di conce. sar� dc/dz e questo da
> solo provocherebbe un flusso. Ma se il flusso non c'�, vuol dire che
> c'� una "forza" opposta ed uguale. Non riesco a capire qual �. O
> meglio, so che ha a che fare con la pressione, ma non capisco come
> esprimerla. Se dico che � dp/dz, dico male, poich� il gradiente di
> pressione ha lo stesso "verso" di quello di concentrazione. Sto
> annegando...help me!
Allora: ricominciamo da capo...
Premetto che preferisco usare, da fisico, la densita' numerica invece
della concentrazione (c'e' di mezzo solo un fattore N, numero di
Avogadro, ma trovo piu' intuitivo pensare alle particelle).

Sia j la densita' di corrente (di particelle): questa in presenza di
un gradiente della densita' numerica n sara' non nulla (diffusione) e
potremo scrivere

j(diff) = -D*grad n (D = coeff. di diffusione).

Se e' presente una qualche forza (elettrica, ma anche gravitazionale)
ci sara' una corrente di deriva, che si scrivera'

j(der) = u*f*n

dove ho indicato con f la forza (vettore) sulla singola particella, u
(sarebbe mu) e' la mobilita'.
All'equilibrio la somma delle due correnti deve annullarsi:

D*grad n = u*f*n.

Se f e' costante (come vettore) ovviamente n dipende da una sola
coordinata, e risulta

n = n0 * exp(u*|f|*z/D)

avendo preso l'asse z nella direzione e verso di f.

Nota che -|f|*z e' l'energia potenziale V della forza, per cui posso
scrivere

n = n0 * exp(-u*V/D)

che deve coincidere con la distrizuzione di Boltzmann

n = n0 * exp(-V/kT)

dunque D = u*k*T che e' la relazione scritta per la prima volta da
Einstein nel 1905, nel lavoro sul moto browniano.

Nel caso che interessa, l'esponente si puo' scrivere -z/h, con h kT/mg, e mettendo i numeri si trova per CO2 a 300K: h = 6 km circa.
Dunque la densita' di equilibrio e' costante dentro la grotta!

Se non siamo in equilibrio, avremo invece

j(tot) = j(diff) + j(der) = -D*grad n + u*f*n.

Ma div j(tot) = -_at_n/_at_t (eq. di continuita') e quindi

_at_n/_at_t = D * div grad n + u * div(f*n).

Nella solita ipotesi di f uniforme questa si semplifica in

_at_n/_at_t = D * d^2 n/dz^2 + u*|f|*dn/dz

che per piccole regioni (metri) si semplifica ancora perche' l'ultimo
termine e' trascurabile.

Anche senza risolvere l'equazione (ben nota, della diffusione) si puo'
trovare la scala di tempo significativa per via dimensionale: si trova
tau = L^2/D, se L e' l'altezza della grotta.

Occorre trovare D, che si fa dalla relazione D=lv/3, dove l e' il
cammino libero medio e v la vel. quadr. media delle molecole.
Dalle tabelle: l = 30 nm, v = 300 m/s, quindi D = 3E-6 m^2/s.
Per L = 3m: tau = 3E6 s = 40 giorni.

In realta' nella grotta l'equilibrio non si raggiunge mai, per piu'
ragioni:
a) c'e' un continuo rifornimento di CO2 in basso
b) CO2 trabocca all'esterno, quando raggiunge il livello del suolo
c) l'aria viene continuamente rimescolata con quella esterna.

Nota finale: per tutto quanto precede, non posso consigliarti
bibliografia migliore del Cap. 43, vol. I della "Fisica di Feynman".
                                

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Jul 09 2004 - 20:54:38 CEST