Re: Simmetrie e grandezze conservate in MQ

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Sat, 03 Jul 2004 14:01:29 +0200

Elio Fabri wrote:

> Paolo Pani ha scritto:
>
>> Salve, ho un problema che non riesco a risolvere anche se penso sia
>> abbastanza semplice :(
>> Il problema riguarda le relazioni fra gruppi di simmetria e grandezze
>> conservate.

e Elio ha risposto...

   Tutto giusto, ma permettetemi di fare qualche osservazione.
Ci sono situazioni in cui il sistema fisico considerato e'
invariante sotto un gruppo di trasformazioni, ma NON e' vero
che l'Hamiltoniano commuta con i generatori (nel senso del t.
di Stone) del gruppo... Caso tipico e' l'invarianza di un
sistema fisico sotto trasformazioni di boost (=trasformazioni
pure di Lorentz).
La situazione si ha quando il gruppo di trasformazioni
"dipende dal tempo" (rotazioni, riflessioni e traslazioni sono
fatte, in un fissato riferimento, a tempo fissato, invece la
trasformazione di boost coinvolge il tempo). In questo caso
l'Hamiltoniano sotto la trasformazione acquista un termine
"dipendente dal tempo", benche' rimanga "invariante in forma"
quando l'hamiltoniano trasformato si esprime in funzione delle
variabili canoniche trasformate.
In genere sui libri si pasticcia molto su questa questione
oppure si fornisce un punto di vista parziale che funziona solo
per i boost o poco piu'. Poco meno di due anni fa ho avuto occasione
di confrontarmi con il problema generale per un articolo che stavo
scrivendo con un mio collaboratore. Vi dico come abbiamo impostato
la questione generale alla fine.

"Se G e' un gruppo di Lie e V(g) una sua rappresentazione
unitaria, un sistema fisico (quantistico) S con evolutore
temporale U(t) si dice _invariante sotto G_ e G si dice
_simmetria di S_, se, per ogni g in G ed ogni tempo t
esiste un elemento g(t) di G tale che

    U(t)V(g) = V(g(t))U(t) (1)

G e' detto _simmetria indipendente dal tempo_ per S
se ulteriormente g(t) = g per ogni g e t."


Il significato intuitivo di (1) e' chiaro: se, al tempo
0 trasformo il sistema sotto g e poi lo faccio evolvere
fino ad un tempo t ottengo lo stesso risultato che avrei
facendo evolvere il sistema senza averlo trasformato e
trasformandolo alla fine con una NUOVA trasformazione,
ma sempre del gruppo G, g(t).


Notare che se g(t) esiste e' determinato univocamente,
se la rappresentazione e' fedele, da

V(g(t)) = U(t)V(g)U(t)* (2)

Notare che tuttavia in generale, se abbiamo una
rappresentazione V di un gruppo G, NON si puo' prendere
il secondo membro di come definizione del primo
(in tal caso ogni gruppo sarebbe una simmetria per ogni
sistema!), perche' NON e' detto che U(t)V(g)U(t)* sia
ancora un elemento della rappresentazione V di G, per cui
la richiesta (1) NON e' banale. Vi lascio l'esempio di
una trasformazione speciale di Lorentz come gruppo G
(ad un parametro).

La richiesta (1) ossia (2) si puo' anche formulare a
livello di algebre di Lie, applicando il teorema di
Stone ad entrambi i membri di (2).
Allora (2) implica (ed equivale sotto certe ipotesi)
a dire che se faccio evolvere alla Heisenberg una qualsiasi
osservabile A che definisce un generatore infinitesimo di
V(G) (algebra di Lie della rappresentazione) ottengo ancora
un elemento A(t) della stessa algebra di Lie di operatori
simmetrici:

A(t) = U(t)AU(t)* (3)

In generale A(t) non coincide con A. Coincide pero' se
la simmetria non dipende dal tempo, ed in tal caso A
e' quindi una costante del moto, perche' da (3)
(con A(t)= A!) avrei che, l'evoluzione di Heinsenberg
di A, A_H(t):= U(t)*AU(t) soddisfa

A_H(t) = A per ogni tempo t

Cosa si puo' dire negli altri casi?
Si puo' ancora definire una costante del moto appartenente
all'algebra di Lie, pero' la costante del moto e'
definita come un operatore _dipendente esplicitamente dal
tempo_
Valendo (3) definiamo, l'operatore dipendente esplicitamente
dal tempo

B(t) := U(t)*AU(t) = U(-t)AU(-t)*

per costruzione questo e' _ancora nell'algebra di Lie_
per cui avra' un'esperessione

B(t) = somma_i c(t) A_i

dove A_i con i=1,2,... dimensione di G (FINITA!)
sono generatori infinitesimi di V(G) e c_i(t) sono
coefficienti reali dipendenti dal tempo. Per
costruzione, l'evoluzione di Heisenberg di B(t)

B_H(t) := U(t)*B(t)U(t)

e' una costante del moto. Spesso questo fatto si
trova scritto come...

_at_B_H(t)
------- + i [H, B_H(T)] =0
   _at_t

Ciao, Valter


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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Sat Jul 03 2004 - 14:01:29 CEST

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