Re: calcolo accelerazione

From: Giacomo Ciani <giacomo.ciani_at_LEVAQUESTO.tiscalinet.it>
Date: Wed, 30 Jun 2004 14:37:39 +0200

> Ciao,
> non so se scrivo sul ng corretto,
> come calcolare il tempo impiegato da un automobile per passare da 0 a
> 100 km/h in funzione del suo peso e della potenza del suo propulsore ?
> Capisco che ci sono molti fattori in gioco ma si puo' scrivere
> qualcosa di massima ?

Si che si pu�. Ammettiamo per semplicit� che non si cambi marcia, che si
mantenga il motore sempre nelle condizioni di erogare la massima potenza
a quel dato numero di giri (il che vuol dire che l'alimentazione sia
ottimale) e che non si usi la frizione (tanto se la si usa solo per
partire l'errore � piccolo; ad ogni modo questa approssimazione �
superabile con realtiva facilit�, am ora complicherebbe solo il
discorso).
Di solito si ha a disposizione la funzione che lega la potenza massima
al numero di giri. Ora, vale che:

P*[delta]t = delta[E]

Cio� la potenza applicata � uguale alla variazione di energia del
sistema. Ora, nel nostro caso la potenza dipende dalla velocit�, quindi:

P = P(v)

Che varia nel tempo perch� cambia la velocit�. La relazione scritta
all'inizio non sarebbe pi� valida, perch� la P non � costante; se
consideraimo per� un intervallo di tempo infinitesimo (durante il quale
la potenza si possa considerare costante), si pu� scrivere:

P(v)*dt = dE --> dt = dE/P(v)

Ora, se integriamo entrambi i mebri dall'instante in cui la macchina �
ferma a quello in cui raggiunge i 100 Km/h, troveremo a sinstra
dell'uguale il tempo totale (l'integrale da t1 a t2 di "dt" fa "t2-t1",
cio� il tempo tra i due eventi), e a destra l'espressione che ci
interessa.

int( dt, t1, t2 ) = T = int( dE/P(v) , E(t1), E(t2) )

Dove i tre argomenti dentro int() sono rispettivamente l'espressione da
integrare, il primo e il secondo estremo di integrazione. L'integrale a
sinistra al momento � un integrale tra l'energia all'istante t1 e quella
all'istante t2; a noi per� serve in funzione della velocit�, perch�
abbiamo P(v); vale che:

E = (1/2)*M*v^2

Con M massa dell'auto. Quindi

dE = (1/2)*M*d(v^2) =
= (1/2)*M*2*v*dv =
= M*v*dv

Sostituendo dv nell'espressione precedente avremo:

T = int ( M*v*dv/P(v) , v(t1), v(t2) ) =

Il problema � che non avremo in genre un formula semplice per P(v), e
l'integrale andr� quindi fatto per via numerica...

Questo approccio "energetico" � probabilemente meno intuitivo di quello
meccanico che fa uso di forze e accelerazioni, ma sicuramente � molto
pi� breve e facile da spiegare... i risultati, ovvaimente, sono
identici.

Spero di essere stato chiaro e, soprattutto, di non aver commesso troppi
errori! ;-)

Ciao

Giacomo

P.S. Quando ho scritto E = (1/2)*M*v^2, ho trascurato l'energia di tutte
le parti interne, oscillanti e soprattutto in rotazione (le ruote ad
esempio!) che invece andrebbe considerata, ma non abbiamo sufficienti
dati per farlo...
Received on Wed Jun 30 2004 - 14:37:39 CEST