Re: ottica - equazione dell'iconale e del raggio

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 12 Jun 2004 21:20:32 +0200

Marco_at_ ha scritto:
> Ho dei problemi con i passaggi attraverso i quali si passa
> dall'equazione dell'iconale a quella del raggio luminoso in
> approssimazione di ottica geometrica (lung. d'onda "tendente a zero").
> ...
> L'equazione dell'iconale che descrive la propagazione dei fronti
> d'onda �:
>
> grad (S(r)) = n(r) * s^
>
> introdotta un'ascissa curvilinea s che delinea lo spostamento di un
> punto sul fronte d'onda dalla posizione P(r) alla posizione P(r + dr)
> si pu� scrivere s^ = dr/ds e quindi ottenere l'equazione della
> traiettoria seguita dal fronte:
>
> grad (S(r)) = n(r)* (dr/ds)
>
> A questo punto derivando entrambi i membri si ottiene l'equazione:
>
> d(n(r) * dr/ds) / ds = grad (n(r))
>
> che chiamiamo equazione del raggio.
>
> Non mi � chiaro l'ultimo passaggio che permette di passare
> dall'equazione della traiettoria a quella del raggio. Dal momento che
> si tratta sempre dell'equazione dell'iconale scritta in altre forme
> presumo che il mio problema sia nei passaggi di calcolo differenziale,
> in particolare non ricordo bene come trattare il gradiente e cosa
> rappresenti la sua derivata rispetto ad s...

La prima equazione che hai scritto, proiettata lungo il raggio, ti da'

dS/ds = n.

Prendi il gradiente di questa:

grad(dS/ds) = grad n.

Scambia a primo menbro:

d(grad S)/ds = grad n.

Il problema e' naturalmente didareun chiaro significato a questi
passaggi.
S la puoi vedere come funzione di s, semplicemente calcolandola nei
punti di un raggio. Quindi puoi anche derivarla rispetto a s.
La funzione cosi' ottenuta la puoi vedere come fuzione del punto, nel
senso che per un dato punto passa uno e un solo raggio, e dS/ds la
calcoli su quello. Cosi' ha senso prenderne il gradiente.
Scambiare grad e d/ds e' lecito, ma un po' meno ovvio, e senza fare
qualche figura...

Avrei la tentazione di rimandarti ai miei appunti di astronomia, dove
il conto e' fatto in un modo un po' diverso.
Li ho citati in un altro thread pochi giorni fa...
                              

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Jun 12 2004 - 21:20:32 CEST