Markov wrote:
> Si, infatti! Ho sbagliato...
Se hai scritto "modi" ma pensavi "branche" avevi invece pensato giusto:
per un cristallo di N celle con p atomi per cella ci sono sempre 3
branche acustiche e 3p-3 ottiche (a meno di casi speciali di cui diro'
piu' avanti), ognuna comprendente N modi, un modo per ogni branca e per
ogni vettore k. Ovviamente il numero totale di modi deve coincidere col
numero totale di gradi di liberta' del cristallo, che e' 3pN.
> perch� cresce il numero dei modi ottici e non quello dei modi
> acustici?
La ragione dell'esistenza di tre modi acustici e' questa. Prendiamo per
semplicita' un cristallo 1-D con p=1 e parametro reticolare a. Allora i
modi di oscillazione, che sono "onde di spostamento" degli atomi, sono
della forma
u_k(n,t) = e_k exp[i(k*a*n-w*t)]
dove u e' lo spostamento, e_k e' l'ampiezza (in 3-D diventa il vettore
polarizzazione), n l'indice di atomo, k il vettore d'onda e w la
frequenza. Per k=0 ovviamente abbiamo un modo a "lunghezza d'onda
infinita", o meglio un modo in cui gli atomi si muovono di conserva
mantenendo esattamente costanti le distanze relative. Siccome
consideriamo (questo e' lasciato implicito nella maggior parte delle
trattazioni, ma e' importante) un cristallo isolato, questo modo
corrisponde ad una traslazione rigida e libera del cristallo (nota che
le forze interne sono in questo caso zero, perche' le posizioni atomiche
relative non variano), che puoi considerare come una oscillazione con
frequenza nulla: w=0. Ecco il modo acustico.
Per p>1 il discorso e' analogo, basta considerare il modo in cui tutti
gli atomi della cella si muovono in fase, e sara' il modo acustico;
quelli in cui si muovono con fase diversa non sono traslazioni del
cristallo e genereranno delle forze interne, per cui w!=0 anche per k=0:
ecco i modi ottici.
Per 3-D il discorso e' del tutto simile, solo che il cristallo ha tre
direzioni in cui si puo' muovere - se preferisci, il centro di massa ha
tre gradi di liberta' - per cui le branche acustiche sono tre.
Infine i casi speciali a cui accennavo: possono darsi casi in cui
w(k)->0 per k!=0. Si tratta di situazioni in cui il cristallo diventa
instabile e puo' trasformarsi in un altra struttura cristallina. Infatti
w=0 implica che la costante di forza elastica si annulla per quel
particolare modo, ovvero perche' gli atomi, effettuando quel particolare
moto collettivo, non incontrano forze di richiamo. Pertanto il loro
spostamento non e' necessariamente piccolo e, se non siamo nel caso di
traslazione rigida di cui ho parlato prima, continuano a spostarsi fino
a trovare una seconda configurazione di equilibrio. Questo e' il
meccanismo che guida molte transizioni tra fasi cristalline.
--
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia
Received on Tue Jun 15 2004 - 11:07:58 CEST