"Elio Fabri" <mc8827_at_mclink.it> wrote in message
news:c9iju5$oq$1_at_newsreader1.mclink.it...
> Non ho controllato i conti, ma mi fido.
> Pero' questo approccio cinematico, in cui non intervengono forze, ha
> un difetto.
> Nel primo caso tutto bene; ma nel secondo, il rotolamento accelerato
> richiede attrito statico, e bisogna assicurarsi che il coeff.
> d'attrito sia sufficiente per avere la richiesta componente
> tangenziale della reazione vincolare.
> Altrimenti puo' accadere che la pallina, prima di staccarsi, inizi a
> scivolare.
> Non ho fatto i conti, ma e' ovvio che se il coeff. d'attrito e'
> abbastanza piccolo questo succede.
Ahhhh, caspita!!! E qui casca l'asino.
A conti fatti, che a questo punto spererei proprio che qualcuno controlli,
il caso di puro rotolamento non si puo' mai avere!
L'ipotesi di puro rotolamento non e' "asettica" (come fa notare Elio),
andrebbe controllato che la soluzione determinata sia compatibile con un
qualche intervallo di valori del coefficiente di attrito statico in quanto
non ce la possiamo cavare dicendo: "Beh, per coefficienti di attrito statico
sufficientemente grandi, la soluzione trovata sara' quella esatta". Andrebbe
determinato il valore minimo di tale coefficiente per il quale la nostra
soluzione risuterebbe valida. E qui, sempre salvo miei errori, si trova che
servirebbe un coefficiente di attrito statico infinito per far si' che la
soluzione sia valida, cioe' la sfera mobile, prima di staccarsi dalla fissa,
necessariamente iniziera' a scivolare (e a questo punto il problema, oltre a
complicarsi, diventa anche noioso: determinare l'angolo al quale inizia a
scivolare, determinare l'angolo di distacco in caso di scivolamento in
presenza di attrito ...).
Per un dato alfa la componente della forza totale (agente sulla sfera
mobile) ortogonale (alla sfera fissa) risulta (alfa e' l'angolo con la
verticale):
(Ftot)ort= mV^2/(R+r)
da cui, essendo pari a mg*cos(alfa) la componente ortogonale della forza
peso, si avra':
(T)ort= mg*cos(alfa) - mV^2/(R+r) (EQ.1)
dove T e' il modulo della forza di contatto fra le due sfere, e (T)ort e'
naturalmente la componente ortogonale (V e' la velocita' della sfera
mobile).
La componente della forza totale parallela risulta invece:
(Ftot)par= m(R+r) _at_^2(alfa)/_at_t^2 (EQ.2)
dove _at_^2(alfa)/_at_t^2 e' la derivata seconda di alfa rispetto al tempo.
Dalla conservazione dell'energia,
mg*(R+r)*cos(alfa)+(1/2)*m*V^2+(1/2)*(2/5)*m*r^2(V/r)^2=mg(R+r)
imponendo V= (R+r) _at_(alfa)/_at_t si ottiene, dopo derivazione rispetto a t:
_at_^2(alfa)/_at_t^2=(5/7)*(g/(R+r))*sen(alfa)
da cui, (EQ.2):
(Ftot)par= (5/7)*mg*sen(alfa).
a questo punto, essendo pari a mg*sen(alfa) la componente parallela della
forza peso,da
mg*sen(alfa) - (T)par = (5/7)*mg*sen(alfa), cioe'
(T)par = (2/7)*mg*sen(alfa) (EQ.3)
A questo punto, ricordando la definizione di coefficiente di attrito statico
Ns:
Ns>(T)par/(T)ort
si ottiene, sostituendo i valori ottenuti in (EQ.1) e (EQ.3):
(mg*cos(alfa) - mV^2/(R+r))* Ns>(2/7)*mg*sen(alfa) (EQ.4).
Sostituendo a V^2/(R+r) il valore che si ottiene dalla conservazione
dell'energia:
V^2/(R+r)=(10/7)*(1-cos(alfa))
la (EQ.4) diventa:
((17/7)*cos(alfa)-(10/7))*Ns>(2/7)*sen(alfa)) (EQ.5).
Si vede bene che la (EQ.5) e' soddisfatta per angoli piccoli, come deve
ovviamente essere per ragioni fisiche (per angoli piccoli certamente deve
essere possibile il rotolamento puro) mentre non lo e' piu' per angoli
"grandi": ad esempio certamente non lo e' par alfa=pi/2.
Ma il punto di centrale importanza e' che non lo e' (per nessun valore di
Ns) nemmeno per cos(alfa)=(10/17) che e' il valore al quale avverrebbe il
distacco se ci fosse sempre puro rotolamento. Il che e' come dire che il
caso di puro rotolamento non e' mai possibile, per nessun valore finito di
Ns.
L'unica cosa che mi mette un po' di dubbio e' che questo mi parrebbe un
problema standard. Qualora il puro rotolamento non fosse mai possibile la
cosa sarebbe abbastanza nota. Non mi stupisco del fatto che io non lo
sapessi, ma qualche utente in linea forse lo avrebbe fatto presente.
> Elio Fabri
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Wed Jun 02 2004 - 12:35:51 CEST