Re: Errore sull'integrazione numerica

From: Peltio <peltio_at_twilight.zone>
Date: Sun, 30 May 2004 15:54:30 GMT

"Elio Fabri" ha scritto

>Tanto per completezza, avresti potuto calcolare anche la varianza che
>avevo dato io.

E' stato solo per pigrizia che non l'ho fatto : )
Per l'integrazione 'tradizionale' avevo la procedura precotta e non
dovevo generare dei dati con annessa varianza. Allora, ho fatto cos�:
Ho scritto la procedurina che fa pi� o meno cosi:

     h^2*( Sum[yk^2,{k,1,n}] - 3/4(y1^2+ yn^2))

E ho creato i dati in questo modo: per ogni punto yk=f[xk] genero
cinque misure fj distribuite normalmente con deviazione standard
0.01 attorno al valore esatto yk. Di questi valori calcolo
    yapprk= Sum[fj, {j,1,5}]/5
    dk=(max - min)/2
    sk=Sqrt[ Sum[(fj-yapprk)^2, {j,1,5}]/(5-1) ]
Il dk lo voglio usare come surrogato dell'errore massimo per un confronto
con la propagazione dell'errore con l'artimetica degli intervalli.
Il valori medio e massimo di dk e di sk su tutte le 100 quintine di valori
sono dati, rispettivamente, da:
    d=0.012 dmax = 0.023
    s=0.097 smax = 0.018

La funzione � Sin[x] e l'integrale tra zero e 1.
Gli integrali sono
    0.459697694131 (Int, esatto)
    0.459693863311 (Tn, trapezi su valori esatti)
    0.459219509435 (Tnappr, trapezi su valori approssimati)

Gli errori rispetto all'integrale esatto mostrano che il metodo di
integrazione con h=0.01 incide poco rispetto agli errori nelle 'misure'.
    3.83082 10^-6 (Int-Tn)
    474.353 10^-6 (Tn-Tnappr)
    478.185 10^-6 (Int-Tnappr)

Passiamo alle stime dell'errore. La migliore � ovviamente quella basata
sulla propagazione della varianza. Se prendiamo per buona le dk come errore
massimo associate ad ogni cinquina (cosa non proprio vera vista che la media
non sempre sta in mezzo), possiamo usarli per calcolare la propagazione
dell'errore massimo con l'aritmetica degli intervalli e prendere dmax come
massimo errore per calcolare la stima grossolana (b-a)*dmax

Ho trovato i seguenti valori per le stime
    2.34502 10^-2 (massimo errore a tutti i punti)
    1.21579 10^-2 (massimo errore 'punto per punto')
    0.10192 10^-2 (errore standard, prop. varianza)
    0.30576 10^-2 (stima 'six-sigma' dell'intervallo)
L'ultimo valore � il triplo della deviazione standard trovata. Dovrebbe
essere il valore con cui comparare le stime riferite agli intervalli che vi
stanno sopra (anche se per il loro calcolo ho barato un po' usando i dk)

>E comunque ripeto che a mio parere la domanda non era quella.

Io vedo i tre calcoli come tre diverse stime della stessa quantit�, ossia
l'incertezza nel risultato dovuto alla propagazione dell'errore nei
dati (yk) nella sommatoria che rappresenta l'integrale numerico.

    Nel primo caso considero il caso peggiore possibile: il valore yapprk
dista dal valore esatto la bellezza di met� del massimo range riscontrato
in tutte le cinquine. Risolvo tutto con una sola moltiplicazione, ma ottengo
una stima molto rozza e decisamente in eccesso.
    Nel secondo caso considero un po' meno di sfortuna, ossia che il valore
yapprk disti dal valore esatto yk met� del range associato alla cinquina
k-esima. Posso avere errori minori dell'errore massimo, ma ancora li
considero che agiscono nello stesso senso.
    Nel caso della propagazione della varianza considero un errore probabile
che tiene conto delle possibili compensazioni per via della distribuzione
un po' per eccesso e un po' per difetto.

Sull'altra questione faccio un post a parte.
Mi � venuto un dubbio filosofico.

saluti,
Peltio
Received on Sun May 30 2004 - 17:54:30 CEST