Il 25 Mag 2004, 23:51, throby2002_at_yahoo.it (thks) ha scritto:
> > > Giusto. Ma non ti andrebbe bene quest'altra definizione?
> > >
> > > lim_{t \to \infty, \delta(0) \to 0} [1\t \ln(\delta(t)/\delta(0)]
> >
> > Non so e' da meditare. In generale questo limite
> > non esiste, perche' se faccio il limite
> > per t che tende ad infinito prima del limite per
> > delta(0) che tende a zero il limite puo' esser nullo,
> > viceversa e' infinito. Puo' darsi funzioni in questo
> > modo: fisso t(eps,delta) il minimo tempo tale che delta(t)=eps
> > questo tempo cresce quando delta(0)=delta diminuisce.
> > Ora faccio non un limite in due variabili, bensi'
> > lim_{\epsilon \to 0} lim_{\delta \to 0}
> > [1/t \ln(\delta(t)/\delta(0))
> La definizione di E. Fabri e' probabilmente giusta, poich�> �quella
che ho visto in parecchi libri. Ma per funzionare
> (almeno, numericamente, che �ci che conosco un po' meglio)
> la perturbazione deve essere rinormalizzata a intervalli
> regolari. Il limite (numerico) in questo modo �ben definito ed esiste.
Forse allora sono io che non ho capito come e' scritta.
Se interpreti il limite davanti come un limite sulle due variabili in
effetti il limite non esiste, mentre,
diversamente da come avevo detto in un primo momento,
se si fa un limite prima in delta poi in t vale l'argomento
che per delta(0) sufficientemente piccola e per tempo fissato la delta(t) e'
sufficientemente prossima a zero in modo che la sua espansivita' possa
essere desunta dallo jacobiano sulla traiettoria, quindi si dimostra
equivalente all'altra definizione in termini di delta'(t).
> Un altro metodo consiste nel linearizzare le eq.i del moto.
Che e' in effetti lo spirito delle osservazioni della
e-mail precedente.
> > Non so. E' vero l'inverso: caotico --> non integrabile.
> > L'inverso e' forse falso in generale, ma finora non ho
> > visto un controesempio su due piedi.
>
> Si', ma un sistema integrabile in generale ammette zone
> dello sp.d.f. con zone sia con orbite regolari che con orbite
> caotiche, ad es. con dipendenza da E (mi viene in mente
> il potenziale di Toda troncato al terzo ordine). Quindi,
> volendo, �in generale falso se si considera lo spazio
> delle fasi nella sua totalit�
Forse, ma non ne sono certo.
Inoltre mi permetto di obiettare: non in generale, bensi' genericamente: in
matematica in generale significa
sempre (ed i sistemi integrabili invece hanno solo
orbite regolari); genericamente invece significa
per un insieme di misura piena. Esistono teoremi
circa la genericita' del caos nell'ambito di classi
abbastanza ampie di sistemi dinamici. Non mi risulta
invece che sia stato dimostrato che i soli punti
eccezionali siano dati dai sistemi integrabili.
E d'altra parte un controesempio, ammesso che esista,
non puo' essere semplice da formulare e magari non ammette nemmeno
hamiltoniana esprimibile elementarmente (causa il teorema KAM piccole
perturbazioni che causano la perdita della completa integrabilita' portano
ad un fibrato caotico, il fatto di avere sub fibrati non caotici non toglie
il fatto che la misura di questi sia zero, quindi provando a costruire un
sistema non integrabile a partire da un sistema integrabile si ottiene un
sistema caotico).
Il contenuto intuitivo e' che se deformo una geometria
a curvatura nulla coordinabile ottengo o un'altra geometria
a curvatura nulla e coordinabile oppure una curvatura non
nulla (che il teorema di Liouville implica essere negativa,
e dunque, se sono garantite tutte le condizioni di densita'
delle orbite periodiche e di transitivita' del flusso hamiltoniano, come ci
si aspetta nei pressi di un sistema
integrabile, il sistema e' caotico, questa e' solo una
parte di quanto si puo' desumere dal KAM).
Un eventuale controesempio potrebbe essere dato da una hamiltoniana le cui
isoenergetiche hanno tutte una curvatura differenziale dinamica nulla e tali
che tuttavia non e' possibile costruire su queste isoenergetiche un sistema
di coordinate azione angolo. Sembra che questo non sia
possibile in dimensione quattro, ad esempio, se la struttura
su cui si vuole costruire la dinamica e' toroidale. Dunque
in quel caso hai ragione. Nella generalita' invece non mi risulta
dimostrato.
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Received on Wed May 26 2004 - 13:19:36 CEST