Re: Errore sull'integrazione numerica

From: Peltio <peltio_at_twilight.zone>
Date: Sat, 22 May 2004 23:54:42 GMT

"Peltio" ha scritto
>L'errore del metodo di integrazione �:
>
> I[f] - Tn[f] = (b-a)/12 h^2 f''[chi]

Uff...
Mi sono perso il segno meno per strada, qui. E' chiaramente

        I[f] - Tn[f] = - (b-a)/12 h^2 f''[chi]

visto che l'area sottesa da una funzione concava viene sovrastimata e,
viceversa quella di una funzione convessa viene sottostimata.
Ho fatto due conti con un integrale banale: quello del seno tra 0 ed 1

Il risultato esatto �
        I = 0.459697694131860...
Il risultato della formula di quadratura con h=0.01 e i valori della
funzione seno esatti nei limiti della precisione macchina �
        Tn = 0.4596938633113578...
L'errore del metodo (che comprende anche l'errore di troncamento a 16 cifre,
a dire il vero) � quindi
        |I-Tn| = 3.8 x 10^-6.
La stima considerando un valore massimo per la derivata seconda pari a 1 (si
potrebbe fare di meglio) � di poco pi� del doppio:
        8.3 x 10^-6

Se poi integriamo la funzione con degli errori casuali di modulo massimo
pari a 0.05 (err=0.05(rnd - 1/2)) (con rnd numero casuale compreso tra 0 e
1), uno dei risultati che si pu� ottenere �
        Tnappr = 0.4431661573039723...
che differisce dalla quadratura numerica sui valori 'esatti' di f per
        |Tn-Tnappr| = 0.016528...
contro gli
        0.05.
(poco pi� del triplo) previsti dalla relazione |Tn-Tnappr|<=(b-a)Max[err].
L'errore rispetto al valore esatto dell'integrale � chiaramente dominato
dall'effetto degli errori sui valori di f (per forza, li ho scelti enormi
: ) ):
        |I-Tnappr| = 0.016531...

saluti,
Peltio
Received on Sun May 23 2004 - 01:54:42 CEST