Re: libero arbitrio?

From: Giacomo Ciani <giacomo.ciani_at_tiscalinet.it>
Date: Tue, 25 May 2004 14:24:25 +0200

> E' un risultato elementare della teoria dei problemi di Cauchy, di
> solito si introduce in Analisi II.

4 anni fa... gi� troppi per la mia memoria!

>E si chiama, per l'appunto,
> teorema della dipendenza continua dalle condizioni iniziali.

Che fantasia... :-)

>> D'accordo, la definizione di sistema caotico a questo punto mi � chiara.
>> Ma, da quel che dici, i sistemi caotici hanno comunque dipendenza
>> continua delle soluzioni dalle condizioni iniziali, cio� vale che data
>> una soluzione Q(t) e la sua condizione iniziale Q(0), per ogni intorno
>> I(0) di Q(0) si pu� sempre individuare un intorno I(t) di Q(t)
>> all'interno del quale si troveranno tutte le soluzioni originate da
>> condizioni iniziali contenute in I(0). Sto commettendo qualche errore?
>
> A meno di mie sviste, :), no.

Ma se l'esempio del pendolo da me citato fosse vero, per esso tale propriet�
non varrebbe, giusto?

>> Se la risposta � no, la domanda successiva �: non esistono sistemi per
>> cui tale propriet� non valga? E quando si paral di effetto farfalla, si
>> paral di dipendenza esponenziale o (come avevo immaginato io) di
>> dipendenza non continua?
>>
>
> Si parla di dipendenza esponenziale. Le funzioni che si
> usano in dinamica classica sono almeno di classe C^1 (o, quasi sempre,
> di classe C^infinito) e quindi dotate di
> appropriate propriet� che mi danno i risultati di cui sopra. Poi �
> chiaro che volendo andare a inventarsi apposta una dipendenza non continua
> basta non soddisfare le ipotesi sopra, ma si entra poi nell'artificiale
> e si esce rapidamente dai risultati che conosco :)

Figurati da quelli che conosco io... per� questa faccenda del pendolo mi
stuzzica: dovr� andare a ricercare la mia fonte...

> Credo che comunque esempi esistano, ad es. prova a cercare sugli
> shift di Bernoulli e sui biliardi di anosov; ma non sono molto competente
> da questo punto di vista.
> Di modelli fisici classici non C^1 proprio non me ne vengono in mente.
> Forse, l'unico esempio fisico che mi viene in mente ora come ora
> � l'equazione di Langevin, che contiene un termine deltiforme.
> Ma la delta di Dirac non � neanche una funzione ;) Purtroppo, quindi,
> non so risponderti su quest'ultimo punto. Ma tieni conto che
> gi� sappiamo cos� poco sui sistemi caotici "well-behaved",
> figurati andando a complicare il tutto: credo che ci sia
> un "vuoto" teorico non da poco.

Immagino... era solo curioso sull'esistenza di tali sistemi...

> Uno dei risultati pi� famosi della teoria del caos � il teorema
> KAM (Kolmogorov - Arnold - Moser), che prova l'esistenza di
> domini ordinati (con orbite regolari) in generici sistemi dinamici,
> in forma di tori. Questo � provato per casi sufficientemente
> differenziabili, cio� C^333 (con 333 derivate!) (per rigor di
> cronaca, a dir la verit� recentemente � stato provato anche per sistemi
> differenziabili poche volte... peccato :)).

Invece megli cos�!

Ciao

Giacomo
Received on Tue May 25 2004 - 14:24:25 CEST