Wakinian Tanka ha scritto:
> Ho conoscenze molto ingenue in questo campo. Se avevi già in mente
> una risposta scrivila pure, per favore, ancora non lo so proprio che
> obbiettivo ho.
Non è facile, appunto perché non saprei come vorresti generalizzare.
Per le rotazioni in 2D come per le TdL con una sola dim. spaziale, hai
a che fare con gruppi commutativi: nel primo caso SO(2), nel secondo
SO(1,1).
Inoltre sono gruppi a un solo parametro, quindi vale ciò che ho detto.
Appena passi alle rotazioni in 3D hai SO(3) che non è commutativo e ha
3 parametri (es. angoli di Eulero).
Se hai fissato il modulo del vettore (che è invariante) hai a che fare
con l'azione di SO(3) sui punti di una sfera.
Puoi usare i quaternioni, che fanno anche di più (v. articolo su wiki
inglese).
In effetti coi quaternini puoi esprimere tanto gli oggetti da
trasformare (i vettori) quanto gli oggetti che rappresentano le trasf.
(l'art. su wiki ne parla). Ma mi sembra una tecnica poco elastica.
Il difetto dei quaternioni è che sono "ad hoc", nel senso che non
si lasciano generalizzare a un n. qualsiasi di dimensioni.
Non solo: diventano di uso problematico se invece di trasformare i
vettori vuoi applicarli a oggetti più complessi come i tensori (es.
momenti d'inerzia). Non so come si possa fare.
Ma soprattutto mi sembra che non colgano la natura profonda del
problema: danno soluzioni che funzionano ma non si vede perché.
Non a caso la fisica teorica ha poi preso un'altra strada, ossia
quella dei vettori e dei gruppi.
> Per esempio non so quasi nulla sui gruppi in generale.
Sì, e ho anche notato che in questo NG di gruppi non se ne parla
praticamente mai.
Eppure credo che almeno i partecipanti più preparati non possano
ignorare quanto siano divenuti importanti in fisica, diciamo
nell'ultimo secolo.
> Ma quello che hai scritto significa che non è possibile una
> generalizzazione ai quadrivettori "veri" cioe' a 3 comp. spaziali,
> con questo sistema?
Il problema è che non so quale sarebbe la generalizzazione...
Il gruppo di Lorentz è SO(3,1) (tralasciando le riflessioni).
Ha dimensione 6 e per di più non è compatto.
Questo complica le cose ... non so se ne parlerò più oltre.
Anche qui sono state escogitate rappresentazioni algebriche "strane"
(dove l'aggettivo sta solo a indicare che non le conosco :-) ).
Es. le matrici di Dirac come algebra di Cayley...
Ma non mi pare che rispondano alla tua richiesta.
Se parti da un certo 4-vettore, aplicandogli le TdL resterà invariante
il modulo (alla Minkowski). Visto nello spazio-tempo, l'estremità del
4-vettore descriverà un'ipersuperficie (un'orbita del gruppo) che è un
iper-iperboloide (una quadrica in 4D).
Sarà a una falda se il 4-vettore è di tipo spazio, sarà invece una
delle due falde se è di tipo tempo (come certo sai, in questo caso
anche il segno della componente temporale è invariante).
In realtà anche alle TdL si può dare forma esponenziale, ma a
esponente non trovi un semplice funzione scalare dei 6 parametri.
Trovi invece una matrice, ottenuta per combin. lineare da 6 matrici
base. V. ad es.
http://ww.sagredo.eu/lezioni/invar/invar03.pdf
L'insieme di queste matrici è l'algebra di Lie del gruppo di Lorentz.
(Un'avvertenza. Quelle lezioni risalgono a 54 anni fa. A quei tempi
usavo ancora un linguaggio un po' troppo "da fisico", tipo trasf.
"infinitesime", "generatori". In seguito imparai un po' meglio la
matematica rilevante.)
Può darsi che la forma esponenziale e l'algebra di Lie siano la
risposta alla tua richiesta. Chissà se avrai il coraggio di metterci
il naso :-)
> Qual'e' la definizione di "riducibile" a cui fai riferimento? Vedo
> che non tutti usano la stessa.
Dici? Fammi un esempio, perché la cosa mi giunge nuova.
Quello che so è che il termine "riducibile" è usato con significati
diversi, ma in contesti del tutto distinti.
Mi spiego meglio, perché penso possa interessarti, anche se è pura
matematica.
Il primo ambito è quello delle algebre di polinomi. Mi limito al caso
di polinomi in una "indeterminata". Nota che un polinomio è una
struttura algebrica astratta, costruita a partire da un campo K
(reale, complesso, ma anche altro). La "x" non è da intendersi come un
numero elemento del campo) ma come simbolo autonomo.
I polinomi formano uno spazio vettoriale su K, ma in più hanno anche
un prodotto, quindi costituiscono un'algebra.
Un problema centrale è appunto la riducibilità di un polinomio.
Si dice che un polinomio p(x) è riducibile se si può scrivere come
prodotto di due fattori di grado >0.
Esempi: x^2-1 è riducibile come polinomio su R, x^2+1 è irriducibile.
A un polinomio si associa la "funzione polinomiale" (spesso le due
cose vengono confuse). La f. pol. ha la stessa espressione formale del
polinomio, ma stavolta va letta come una funzione che mappa la var.
indip. x (ora un numero) in p(x).
Si vede subito che un polinomio è riducibile sse la corrisp. f. pol,
possiede radici in K.
Esempio: x^2 - 1 ha le radici x =1, x=-1 in R.
Invece x^2 + 1 non ha radici reali.
Se invece di R usiamo C, tutti i polinomi di grado superiore al primo
sono riducibii.
Questo non è che il *teorema fondamentale dell'algebra*: tutte le eq.
algebriche su C hanno almeno una soluzione.
Per es. x^2+1 in C ha le radici x=i, x=-i.
Non dico di più (anche perché ne so poco di più...)
Passiamo invece all'ambito delle rappresentazioni dei gruppi, che
interessa molto più da vicino il nostro argomento.
Non ti sto a dare la definizione generale di gruppo.
Mi fermo invece sulla *rappresentazione* di un gruppo.
Dato un gruppo G e uno spazio vettoriale V (su un campo K) si chiama
rappresentazione di G su V una mappa (omomorfismo) rho: G --> Aut(V),
dove Aut(V) indica il gruppo degli automorfismi di V.
Un automorfismo non è che una mappa lineare bigettiva di V (spero che
questa terminologia ti sia familiare).
Avrei potuto usare il linguaggio delle matrici, ma mi piace meno :-).
Un sottospazio proprio V' di V è detto *invariante* sotto rho se per
ogni elemento g di G l'immagine di V' sotto l'automorfismo rho(g)
coincide con V'.
Una rappr. rho di G su V che possiede sottospazi invarianti è detta
*riducibile*. Irriducibile in caso contrario.
Ora un cenno storico.
Dopo la mascita della m.q. si è capito subito che la rappr. dei gruppi
simmetria avevano un ruolo centrale nella teoria.
Basti dire che la teoria del momento angolare in m.q. non è che lo
studio delle rappr. irriducibili del gruppo delle rotazioni: SO(3) o
più precisamente il suo ricoprimento SU(2).
Il massimo contributo a questi sviluppi è dovuto a Wigner.
Però ci sono voluti parecchi anni perché questa scoperta diventasse
conoscenza diffusa dei fisici teorici.
Per molto tempo ci si è arrangiati con versioni "per fisici" della
teoria delle rappresentazioni, e i corsi di Fisica Teorica raramente
davano spazio alla matematica "pulita" dell'argomento.
Il sottoscritto si è laureato senza saper niente di tutto ciò.
Sono arrivato a saperne quanto occorreva per poterne fare strumento di
ricerca, e buona parte della mia attività didattica è stata su questi
argomenti. Alcune cose le ho imparate in età relativamente tarda:
anche 50 anni...
>> La matrice di una TdL è riducbile anche in campo reale: come si
>> trasformano x+ct e x-ct? Oppure E+cp ed E-cp?
> Trasformano in che senso? Con un boost di Lorentz?
Sì.
> Cosa devo guardarmi dei tuoi scritti? Basta studiare il capitolo sui
> gruppi?
Volendo ci sarebbe parecchia roba...
Ti ho già citato il cap. 3 di "Invar".
Un altro ciclo di lezioni, più elementare (si fa per dire :-) ) ma
dedicato ai gruppi in m.q. lo trovi in
http://www.sagredo.eu/lezioni/gruppi
Ti cito due risultati dimostrati nel cap. 6:
1. Il cosiddetto "secondo lemma di Schur":
Dato un gruppo G e una sua rappr. irr. rho sullo spazio complesso V a
dimensione finita, ogni endomorfismo alfa di V che commuti con tutti
i rho(g) e` un multiplo dell'identita`.
In parole più semplici: se tutte le matrici di una rappr. irr. di un
gruppo G su uno spazio vettoriale complesso commutano con una matrice
A, questa è un multiplo dell'identità.
Ne segue che se un'osservabile commuta con tutti gli operatori di una
rappr. irr. di un gruppo, quell'osservabile è degenere nello spazio di
rappresentazione.
Lascio a te di tradurre questo nel caso di una grandezza che commuta
col momento angolare, e quindi ...
2. Altro teorema:
Ogni rappr. a dimensione finita di un gruppo finito o compatto è
equivalente a una rappr. unitaria.
Questo è molto utile perché gli operatori unitari hanno poprietà
centrali in m.q.
Un esempio in negativo è il gruppo di Lorentz, che *non è compatto*.
Infatti tutte le sue rappr. a dim. finita non sono unitarie.
Non so se hai mai studiato l'eq. di Dirac e in particolare la sua
invarianza relativistica: è un po' un casino proprio per questa
ragione.
Termino osservando he quanto ho detto sopra sulla forma esponenziale
del gruppo di Lorentz vale per qualsiasi gruppo di Lie.
Quindi qusta è forse proprio la generalizzazione che cercavi.
Strettamente lgato p il fatto che lo studio di un gruppo di Lie si può
ricondurre in gran parte a quello della sua algebra di Lie, il che è
un grosso vantaggio perché l'algebra di Lie è più semplice da
maneggiare.
E' quello che si fa in molti casi in m.q.
Per es. le componenti del momento angolare con le loro relazione di
commutazione generano l'algebra di Lie del grupo delle rotazioni SO(3)
ovvero SU(2).
Qui ti lascio un po' di suspense: SO(3) e SU(2) hanno la stessa
algebra di Lie, ma non sono isomorfi: sono solo "localmente isomorfi".
Questo argomento è discusso nel cap. 11.
Buon divertimento :-)
--
Elio Fabri
Received on Sat Jun 06 2020 - 21:29:57 CEST