Re: Grado di degenerazione

From: Gianmarco Bramanti <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Tue, 04 May 2004 13:51:08 GMT

Il 03 Mag 2004, 19:04, "Paolo Pani" <npaniREMOVE_at_tiscali.it> ha scritto:
> Salve, ho alcuni problemi nello stabilire il grado di degenerazione in
> problemi 3D di meccanica quantistica.
> Se non mi sbaglio il grado di degenerazione dovrebbe essere il numero
> massimo di autovettori distinti corrispondenti ad un unico autovalore.
> Sempre che la definizione sia corretta non riesco in pratica ad
applicarla:
> per esempio oscillatore armonico 3D in generale lo spettro dell'energia
> dovrebbe essere E=E1+E2+E3 con E1=hW1(n1+1/2) (con W intendo omega
> pulsazione) e cos� uguale per E2 e E3 che sono gli autovalori dell'energia
> nei singoli casi 1D. Nel caso 1D non credo ci siano problemi e non c'�
> degenerazione (ad ogni n corrisponde solo 1 autovalore)

Come dici la degenerazione � contata dagli autovettori
indipendenti relativi ad un dato autovettore. Nel caso
unidimensionale, in generale, l'equazione di Schroedinger
� una equazione differenziale ordinaria del secondo
ordine ed ammette quindi due soluzioni linearmente
indipendenti. La soluzione generale per assegnate
condizioni in un punto � una funzione:
f(x,t) = a f1(x,t) + b f2(x,t)
questa funzione � soluzione dell'equazione:

(H-E) f = 0

dove H � la funzione di Hamilton. Sembrerebbe
allora che per ogni autovalore hai due autovettori
indipendenti. Cio� degenerazione due. Invece
occorre prudenza in relazione al significato fisico.
Non tutte le soluzioni possibili di questa equazioni
sono normalizzabili. Capire quante sono le soluzioni
fisicamente ammissibili � un problema tosto da risolvere
in generale.

Esempio classico di sistema con degenerazione due � quello
della doppia buca infinita. Questo esempio � a mio parere
un pessimo esempio perch� uno studente pu&ograve; essere indotto
a considerare tre buche infinite, anzich� due, e come ha
trovato degenerazione due per la doppia buca trover�
degenerazione quattro per la tripla buca. E degenerazione
2^(n-1) per la n-buca. In questo caso infatti semplicemente
la teoria delle equazioni differenziali ordinarie che consente
di trovare che il numero di soluzioni linearmente indipendenti
� due non � verificata.

Se ci si limita a studiare l'oscillatore armonico, d'altra
parte, dove la teoria vale, la degenerazione potrebbe
essere in linea di principio due. Si trova invece che
le autofunzioni di energia (n + 1/2)h\omega con n pari
sono funzioni pari e quelle con n dispari sono funzioni
dispari.

Un teorema di Liouville permette di generalizzare questo
risultato collegando il numero di oscillazioni
di un'autofunzione reale di un operatore di Liouville
all'ampiezza dell'autovalore associato con quella
autofunzione. Il numero di oscillazioni cresce al
crescere dall'ampiezza dell'autovalore.

Il modello di Bloch nella versione in cui studi
le soluzioni unidimensionali di una hamiltoniana
con potenziale definito su una circonferenza e
cerchi soluzioni continue sulla circonferenza
mostra, nel caso di potenziale uniforme sulla
circonferenza, degenerazione due. Hai le soluzioni
sen(phi) e cos(phi).

In generale per questo modello la degenerazione � due?
In verit� il teorema di Bloch dice di pi� e di meno.
Dice che se � assegnato un potenziale periodico di
periodo 2pi/n le autofunzioni per l'equazione agli
autovalori associata sono della forma: f(phi)exp(i k phi)
dove f � una funzione di periodo 2pi/n mentre k � un vettore tale che k phi
= 2pi. C'� dunque degenerazione due se k>0, infatti per ogni valore di k �
ammesso anche il valore
-k.

Siccome � legittimo sospettare (e possibile dimostrare)
che valori di |k| maggiori siano legati ad energie
maggiori, si pu&ograve; sospettare che tutti i livelli
eccitati per questo modello abbiano degenerazione
due, mentre io (per ignoranza forse) lascerei aperta
la questione se il fondamentale abbia degenerazione uno
o due.

> avere E=n1+n2+n3... cosa posso dire del grado di degenerazione? Direi che
si
> pu� andare a tentativi per i primi livelli...ma ho trovato un esercizio
che
> mi chiede il grado di degenerazione per il livello n-esimo...
> Grazie a chi vorr� aiutarmi
> Paolo

Per quanto riguarda l'oscillatore armonico, come abbiamo
detto, per il caso unidimensionale ogni autovalore
ha degenerazione uno in accordo con il teorema di Liouville.

Per l'oscillatore armonico in dimensione maggiore di uno
sei in una situazione differente. Puoi osservare che esiste
una unica autofunzione associata ad ogni terna n1,n2,n3.
Ma le terne compatibili con il medesimo autovalore sono
condizionate solo dalla richiesta
(n1+1/2)\omega1+(n2+1/2)\omega2+(n3+1/2)\omega3 = E
se le tre frequenze sono uguali, come � nel caso isotropo,
la condizione � n1+n2+n3=n. Il problema � allora quello
di trovare il numero di terne compatibili con questa
decomposizione. Queste sono contate dal numero di
modi di suddividere n oggetti in tre gruppi utilizzando
due separatori. Si tratta di C(n+2,2) modi. Pertanto
la degenerazione vale (n+2)(n+1)/2 = [n^2+3n+2]/2.

Dovrebbe esistere un modo di ottenere lo stesso risultato
scrivendo il problema in coordinate polari. In questo
caso infatti la parte radiale del problema si riduce
ad un problema di Liouville e la degenerazione � data
solo dal contributo angolare. Se stai studiando istituzioni
(ma io ho visto il tuo nome altre volte su questo ng e
dal livello delle domande giudico che sei ben oltre
istituzioni) ti accorgerai che questo � praticamente
l'unico modo per valutare la degenerazione dei livelli
per l'hamiltoniana dell'atomo di idrogeno (e per i
problemi coulombiani centrali in genere). In quel caso
trovi che al variare di l hai (2l+1) diversi valori di
lz e compatibili con lo stesso valore di n hai esattamente
tutti i valori di l che vanno da 0 fino ad n-1 se sommi
i primi n-1 numeri dispari trovi n^2. Questo problema era
gi� stato risolto dai pitagorici, la fisica dell'atomo di
idrogeno non � ancora stata completamente risolta.

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Received on Tue May 04 2004 - 15:51:08 CEST

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