Re: Due domande di QFT

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Sun, 05 Jun 2011 15:11:11 +0200

El Che ha usato la sua tastiera per scrivere :
> Salve a tutti. Ho un dubbio un po' strano in QFT. Ho un Lagrangiano di
> interazione del tipo
>
> Li = -g a_(x) a(x) F(x)
>
> dove a_(x) � un antifermione, a un fermione ed F un bosone generico (non so
> come indicarlo meglio). La x � la 4-posizione
>
> Adesso, devo studiare l'elemento di matrice
>
> <e+ e- |S| B B>
>
> dove e+ � un positrone, e- un elettrone e B B sono due bosoni identici. Il
> processo che studio �
>
> B B -> e+ e-
>
> quindi |B B> � lo stato iniziale, mentre |e+ e-> � quello finale.
>
> So gi� che il processo � necessariamente al secondo ordine in g e fin qui va
> bene. So anche che lo stato finale si produce per mezzo di un propagatore
> fermionico tra i due bosoni.

Gi� qui da quello che scrivi mi sorge un dubbio. Finch� dici che il
processo che devi considerare � del secondo ordine d'accordo. Quando
per� dici che si produce per mezzo di un propagatore fermionico fra i
due bosoni ho la sensazione che stai mettendo il carro, o meglio i
diagrammi, davanti ai buoi :-) E' corretto quel che dici ma come vai a
parare a questo risultato?

In verit� il propagatore fermionico compare dall'applicazione del
teorema di Wick tramite la contrazione dei campi fermionici nel
prodotto T-ordinato complessivo che coinvolge inizialmente quattro
campi fermionici e due bosonici. Il punto � che nello sviluppo della
matrice di Scattering al secondo ordine trasformi il prodotto
T-ordinato in due prodotti normali. In uno contrai sui campi fermionici
interni, nell'altro sui campi fermionici esterni.


Ora nel momento in cui estrai questi propagatori per portarli a fattore
devi scambiare due volte la posizione di un campo fermionici e quindi i
due termini di Wick che ottieni hanno la struttura seguente:

 <0| T [ a(x) a_(y)] |0> N[a_(x)a(y) B(x)B(y)] +
 <0| T [ a_(x) a(y)] |0> N[a(x)a_(y) B(x)B(y)]

questi due termini li puoi accorpare in uno solo:

2 <0| T [ a(x) a_(y)] |0> N[a_(x)a(y) B(x)B(y)]

dal momento che l'integrazione � su tutto lo spazio degli eventi sia
per x che per y. Quindi di fatto scambi due a due ordinatamente
l'ordine dei campi fermionici e dei campi bosoni nel secondo termine e
poi i nomi delle variabili di integrazione gli scambi di posizione nei
campi portano un segno - ripetuto due volte: una volta per il
propagatore fermionico ed una volta per i campi nel prodotto normale e
siccome i campi bosonici commutano fra loro essi non comportano
ulteriori cambiamenti di segno.

> Il dubbio sorge nel momento in cui vado a computare le due differenti
> topologie: effettuando le possibili contrazioni, vengono fuori i propagatori
> fermionici implicati nel processo. In un caso viene una contrazione del tipo
>
> <0| T [ a(x) a_(y)] |0>
>
> dove con T[# #] ho indicato il prodotto T -ordinato di a(x) ed a_(y). Nel
> secondo caso viene invece un prodotto del tipo
>
> <0| T [a_(x) a(y)] |0>
>
> ossia il prodotto T-ordinato di a_(x) con a(x). Adesso le due domande
> chiave:
>
> 1) Le due topologie differiscono tra loro per lo scambio dei due fermioni
> nello stato finale, giusto?

Essenzialmente corretto.

> E questo introduce un segno relativo (-) tra le
> due contribuzioni, corretto?

Questo, a livello diagrammatico � come scambiare di posizione la
freccia fermionica attaccata al nodo 1 e la freccia attaccata al nodo 2
senza scambiare contestualmente l'ordine di percorrenza del propagatore
si ottiene un diagramma che non ha un senso coerente.


> 2) La differenza tra i due propagatori introduce a sua volta un segno (-)
> che compensa il segno (-) anteriore?

Si, adesso hai aggiustato anche la freccia del propagatore e c'� un
altro cambio di segno quindi il risultato � una interferenza
costruttiva.


> O l'espressione del propagatore rimane
> la stessa? Detto in altri termini, quale delle seguenti � la corretta?
>
> <0| T [ a(x) a_(y)] |0> = <0| T [a_(x) a(y)] |0>
>
> <0| T [ a(x) a_(y)] |0> = - <0| T [a_(x) a(y)] |0>


essenzialmente � corretto scrivere:

<0| T [a(x) a_(y)] |0> = - <0| T[a_(y) a(x)] |0>

senza cambiare isolatamente i nomi delle variabili di integrazione, ma
ricordando che nell'integrale complessivo possono comparire altri
fattori.

> Di esercizi ne ho fatti gi� parecchi, ma � un dubbio che non mi ero mai
> posto fin'ora, scusate se � banale. Potrebbe dqualcuno darmi ragguagli in
> merito, con qualche motivazione?
>
> Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto
Received on Sun Jun 05 2011 - 15:11:11 CEST