Re: Algebre di Lie

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 06 Apr 2004 20:15:59 +0200

Valter Moretti ha scritto:
> No non e' una cosa banale, dovresti vedere l'articolo di Nelson dove
> si trattano queste cose nel caso generale...
Aspetta: io volevo solo dire che e' banale che il problema esiste solo
in infinite dimensioni, ossia che in dimensione finita una rappr.
dell'algebra da' sempre una rappr. del gruppo.
Sbaglio?

> Come ti dicevo era solo un'idea, ma non ci ho mai pensato seriamente.
> Se mi fai vedere come lo dimostri mi interesserebbe, visto che non ho
> tempo (e nemmeno voglia) per pensarci da solo...
Vediamo.
La piu' generale matrice di SL(2,C) si scrive

B = p*I + q1*S1 + q2*S2 + q3*S3 (1)

dove indico con I la matrice identita', con S1, S2, S3 le matrici di
Pauli, con p, q1, q2, q3 numeri complessi.
La condizione det A = 1 impone

p^2 = 1 + q1^2 + q2^2 + q3^2 (2)

(quadrati, non moduli quadrati).
Invece le matrici dell'algebra hanno la stessa espressione senza il
primo termine, in quanto hanno traccia nulla:

A = c1*S1 + c2*S2 + c3*S3.

Bisogna dunque dimostrare che comunque scelti q1, q2, q3, e *per
entrambe le scelte di p* che soddisfano la (1), esistono c1, c2, c3
tali che exp(A) = B.

Si ha

exp(A) = cosh(r)*I + (a1*S1 + a2*S2 + a3*S3)*sinh(r)/r (3)

dove ho posto r = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) (e' indifferente quale
radice (complessa) si prende, dato che cosh(r) e sinh(r)/r sono
funzioni pari.

Confrontando (1) e (3) si vede che occorre

cosh(r) = p (4)

dopo di che basta prendere a1 = c1*r/sinh(r) ecc.

E qui casca l'asino... Ero stato un po' frettoloso...
Infatti (4) si puo' sempre risolvere (ha infinite soluzioni) ma se
p=-1 risulta sinh(r)=0 mentre r non e' 0, e siamo nei guai.
Invece p=1 non da' problemi, perche' posso scegliere r=0 e
r/sinh(r)=1.

Conclusione: quello che avevo asserito e' falso.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Apr 06 2004 - 20:15:59 CEST