[A causa di problemi di data il post viene approvato a mano solo oggi]
(saggese_at_unisa.it)
Elio Fabri wrote:
> Valter Moretti ha scritto:
> >
> > Se sono soddisfatta certe condizioni (di Nelson)
> > sulla rappresentazione dell'algebra di Lie, allora esiste
> > una rappresentazione unitaria del gruppo la cui algebra di Lie
> > e' rappresentata dagli operatori A_i...
> Ecco un'altra delle tante cose che non so...
> Ci ho pensato un po', ma non viene in mente niente.
> Che genere di condizione ci vuole?
Una condizione sufficiente (mi pare che sia anche necessaria)
e' che ci deve essere un dominio (sottospazio) D denso nello
spazio di Hilbert, invariante per tutti gli A_i e tale che
l'operatore
T = summa su i di A_iA_i
sia _essenzialmente autoaggiunto_ su D
(ti ricordo che A: D ->H con D denso in H e' detto
essenzialmente autoaggiunto se e' simmetrico [cioe'
<f|Ag> = <Af|g> per ogni coppia f,g in D]
e vale che l'aggiunto di A, A*, e' autoaggiunto)
Si trovano dei controesempi classici studiando il
"gruppo di Heisenberg", che e' l'estensione centrale
del gruppo abeliano delle traslazioni bidimensionali:
per (no)i fisici e' il gruppo la cui algebra di Lie
e' data dall'operartore posizione, l'operatore impulso
e l'operatore identita'.
Se prendi la particella nella scatola con condizioni
di annullamento ai bordi oppure con condizioni
periodiche, riesci comunque a definirti degli operatori
simmetrici (e anche autoaggiunti) che soddisfino l'algebra
di Heisenberg, pero' e' impossibile definirli in modo tale
che la condizione di Nelson sia verificata...
(si avrebbe una contraddizione con un altro celebre teorema
dovuto a von Neumann che dice che se c'e' una
rappresentazione unitaria (irriducibile) allora lo spazio
e' L^(R) e gli operatori posizione e impulso sono quelli noti,
cosa impossibile per ipotesi nel caso detto per le propriet'a
spettrali differenti).
Per cui, nel caso in esame, c'e' un'algebra di Lie di Heisenberg,
ma non c'e'alcuna rappresentazione unitaria del gruppo associata.
>
> > Ciao, la mappa esponenziale la puoi usare solo se gli operatori sono
> > autoaggiunti, inoltre NON e' detto che dia luogo ad una
> > rappresentazione (fortemente continua) unitaria del gruppo. In ogni
> > non e' vero che tutti gli elementi del gruppo siano del tipo exp{i
> > somma su j t^j A_j } dove A_1,A_2,...,A_n sono una base di operatori
> > che rappresentano l'algebra di Lie... Bisogna considerare, in
> > generale, piu' prodotti di tali esponenziali.
> Fino all'autoaggiunto ci arrivo...
> Ma mi scombussola la cosa che dici dopo: mi faresti un controesempio,
> in cui nn tutti gli elementi del gruppo sono del tipo
> exp{i somma su j t^j A_j } ?
Come ha detto Slacky, basta che il gruppo non sia connesso, ma anche per
i gruppi connessi puo' succedere. (C'e' comunque un teorema che assicura
che se il gruppo e' connesso e compatto allora tutti gli elementi sono
esponenziali). Sono sicuro che un controesempio si trova studiando
SL(2,R), perche' ci ho sbattuto il naso qualche tempo fa. Pero' ora
non ho tempo per andare a cercare quel controesempio.
Non ci ho mai pensato seriamente, ma mi pare che ci siano controesempi
anche con il gruppo ortocrono proprio di Lorentz (che e' connesso ma
non compatto): credo che, in generale, se consideri una trasformazione
che non sia ne' una rotazione tridimensionale e nemmeno un boost,
non sia possibile scriverla come singolo esponenziale.
Purtroppo non ho tempo per cercare di dimostrarlo, se mi viene in mente
qualcosa la posto.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Sun Mar 28 2004 - 06:00:15 CEST