Andrea Barontini ha scritto:
> in meccanica classica [...] in generale si puo' sempre scrivere
> l'Hamiltoniana, ma che questa rappresenti l'energia totale del sistema
> non e' in generale detto (dipende invece dalla scelta effettuata per
> le coordinate generalizzate).
>
> In meccanica quantistica (a livello molto introduttivo) ho incontrato
> l'operatore Hamiltoniano, che mi e' stato presentato come formalmente
> uguale all'operatore ("funzione" dell'operatore posizione e
> dell'operatore impulso) associato all'osservabile energia totale.
>
> Quello che mi chiedo dato "il parallelismo" con l'hamiltoniana e':
>
> l'operatore Hamiltoniano e' sempre associato all'energia totale (magari
> in virtu' della presenza del laplaciano che modificandosi formalmente al
> cambiare delle coordinate potrebbe aiutare a far tornare tutto) o solo
> se e' espresso in coordinate generalizzate "non troppo brutte"?
> Nel qual caso, quali sono le condizioni sulle coordinate generalizzate
> in cui e' espresso l'operatore perche' questo sia associato all'energia
> totale?
Debbo dire che la domanda non mi e' troppo chiara.
Mi chiederei in primo luogo: a prescindere da hamiltoniana, sia in m.c.
come in m.q., che cos'e' l'energia?
Il tuo discorso ha senso se dell'energia si puo' dare una definizione
indipendente.
Questo e' chiaro se esiste l'invarianza per traslazioni temporali:
allora chiamo energia la costante del moto associata a tale invarianza
(e questo prescinde dalla scelta delle coordinate: sara' solo
l'espressione dell'energia che cambiera' a seconda delle coordinate).
Ma se l'invarianza non c'e'?
Un esempio: un pendolo la cui lunghezza varia nel tempo.
In casi del genere bisogna scegliere, e di solito si sceglie "per
analogia".
Cosi' per il pendolo chiamero' energia la stessa funzione delle
coordinate q,p che nel caso di lunghezza fissa mi darebbe l'energia in
senso semplice.
Ma naturalmente questa non e' una costante del moto, e in termini
classici puoi ricondurre la sua variazione al lavoro fatto
dall'esterno per variare la lunghezza del filo.
Un altro esempio, che ha importanza anche in m.q. per le applicazioni
a sistemi atomici, e' quello di una carica legata elasticamente e
soggetta a un campo elettrico esterno oscillante.
Anche qui si procede allo stesso modo: si chiama energia quella solita
dell'osc. armonico in assenza di campo esterno, che quindi non si
conserva: uno stato stazionario in assenza di campo non lo e' piu' col
campo, che provoca transizioni fra quegli stati.
Come forse sai o forse no, questo e' l'approccio detto "semiclassico"
all'interazione fra atomi e radiazione. Semiclassico, perche' il campo
e.m. e' trattato classicamente: niente fotoni.
Ma questa era una divagazione.
In casi come questo, la hamiltoniana, classica o quantistica che sia,
e' sempre associata all'energia del sistema, e non vedo condizioni
sulle coordinate.
--
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.
Received on Sun May 15 2011 - 21:32:04 CEST