On Sat, 21 Feb 2004 18:34:30 +0100, Adriano Amaricci wrote:
>Salve a tutti, ci sono dei passaggi della costruzione dell'espressione dei
>simboli di C. in termini della metrica $g_{\mu\nu}$ che non mi sono chiari.
>Si sfrutta il fatto che la derivata covariante della metrica e' nulla:
>$g_{\mu\nu ;\beta}=0$ [indico la derivata covariante con il ; e la derivata
>ordinaria con la virgola], da qui esplicitando l'espressione della derivata
>e con un po' di algebra si arriva al risultato. Il problema e' invece come
>arrivare a dimostrare che tale derivata covariante e' nulla, l'idea dovrebbe
>essere questa ma secondo me manca l'ipotesi che i vettori $A^\mu$ e $B^\nu$
>siano costanti (vedi dopo) oppure c'e' qualcosa che non capisco:
Nel caso euclideo il tensore metrico g coincide col tensore
di Kronecker: [(*)=prodotto tensoriale]
(1) g=g_ik e^i(*)e^k=g^ik e_i(*)e_k=delta_i^k e^i(*)e_k
questa (1) mostra dunque l'uniformita` di g: [*=p. scalare]
(2) e^i*e_k=delta^i_k
e porta al Teorema di Ricci: "La derivata covariante[*]
del tensore metrico e` identicamente nulla".
Questo teorema mostra anche che i coefficienti della
connessione non sono indipendenti dal tensore metrico,
ma sono in corrispondenza biunivoca con le derivate
parziali della metrica g_ik:
(3) [ik,j]=1/2 (g_kj,i+g_ji,k-g_ik,j)
In questo caso euclideo i coefficienti della connessione
si chiamano infatti simboli di Christoffel di prima
specie: [ji,k], e di seconda specie: {ji^k}.
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[*] Che testo hai? Perche' sembrerebbe che siamo rimasti
in pochi a chiamare "derivata covariante" la derivata
covariante:-(
Dalla nostra per fortuna c'e` pero` anche T. Regge che ci
da` man forte;-) [cfr. la sua postfazione ai Fondamenti di
Meccanica relativistica; Levi-Civita; Zanichelli; (C) 1982]
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Ciao, | Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda | E-mail: remigioz tiscali it
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Received on Sat Feb 21 2004 - 23:38:16 CET