Re: Relazione tra simboli di Chritstoffel e metrica..

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 23 Feb 2004 21:19:04 +0100

Adriano Amaricci ha scritto:
> Salve a tutti, ci sono dei passaggi della costruzione dell'espressione
> dei simboli di C. in termini della metrica $g_{\mu\nu}$ che non mi
> sono chiari. Si sfrutta il fatto che la derivata covariante della
> metrica e' nulla:
> ...
> Il problema e' invece come arrivare a dimostrare che tale
> derivata covariante e' nulla, l'idea dovrebbe essere questa ma secondo
> me manca l'ipotesi che i vettori $A^\mu$ e $B^\nu$ siano costanti
> (vedi dopo) oppure c'e' qualcosa che non capisco:
Premessa: la difficolta' a risponderti e' che non so di preciso come
sono stati introdotti i concetti base: derivata covariante e trasporto
parallelo.
Assumero' che ci sia una definizione di der. cov., e che il tr.
parallelo sia definito di conseguenza (ma su questo torno fra poco)
Per inciso, entrambi i concetti non richiedono la metrica.
Il problema che tiponi riguarda la condizione di compatiblita' tra
der. cov. e metrica, quando sono definite entrmabe.

> Dato un vettore $A^\mu$ la sua lunghezza $A^\muA^\nu g_{\mu\nu}$ deve
> essere invariante per trasformazioni di coordinate generali,
Va bene, ma che c'entra? Questo dice solo che il tensore metrico si
trasforma appunto come un tensore...

> analogamente se si costruisce il prodotto scalare $A^\muB^\nu
> g_{\mu\nu}$, questo deve essere invariante per trasporto parallelo
> (che e' diverso dal dire che e' costante).
Questo e' appunto un modo di porre la condizione di compatibilita' che
dicevo.

Chiariamo. Hai due campi vettoriali, A e B (gli indici ce li mettero'
solo quando servono, e usero' indici latini per economia di scrittura).
Poi hai una curva: sulla curva sono definite le restrizioni di A e B,
dalla varieta' multidimensionale di partenza alla varieta'
unidimensionale che e' appunto la curva.

Prendi un punto p della curva, ed esegui il tr. parallelo di A, da p a
un generico punto q della curva: in questo modo definisci un _secondo_
campo vettoriale sulla curva, che chiamo A' per distinguerlo dalla
restrizione di A che ho detto sopra.
La legge che definisce A' e'

u^i A'^k_{;i} = 0 (1)

in ogni punto della curva, u^i essendo il vettore tangente.

La (1) esplicitata e' un'eq diff. del primo ordine, lineare, che
determina A' su tutta la curva appena lo assegni in un
punto.
Fai la stessa cosa con B, e ottieni B'.

A questo punto puoi calcolare il prodotto scalare di A' e B',
ovviamente usando il tensore metrico:

A'^i B'^k g_{ik}

Nota che g_{ik} lo prendi col suo valore, punto per punto sulla curva.

> A questo punto il libro su cui sto studiando dice, senza fare
> ulteriori ipotesi, che da questo segue che il precedente prodotto
> scalare ha derviata ordinaria nulla: $(A^\muB^\nu
> g_{\mu\nu})_,\beta=0$, mi chiedo come e' possibile questa cosa.

Il fatto e' che questa e' la condizione di compatibilita':

(A'^i B'^k g_{ik}),j = 0 (2)

se e solo se metrica e der. cov. sono compatibili.

Ora moltiplica la (2) per u^j, tieni presenti la (1) e la
corrispondente per B, sviluppa ... e troverai, chiedendo che tutto
valga per ogni curva e per tutti i vettori A, B, che g_{ik;j} = 0
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Feb 23 2004 - 21:19:04 CET