Re: oscillatore armonico e V(x) che subisce una variazione

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 12 Jan 2004 20:45:31 +0100

Nargath ha scritto:
> Scusa se ho le idee un po' confuse in proposito, mi potresti spiegare
> per bene (se puoi e ne hai voglia) questo procedimento?
> Non ho ben capito come normalizzare il prodotto scalare (� questo che
> si normalizza? oppure la funzione d'onda dello stato in cui si trova
> la particella...)
> Nell'integrale sono presenti fi'_0*(x) e fi_0(x) o, nel secondo caso,
> fi'_0*(*) e fi_1(*) come dovrebbe apparire l'integrale di
> normalizzazione che sar� presente nel denominatore? Grazie
La prima cosa che mi viene di dire e': ma benedetti ragazzi, i libri
non li conoscete? Non li usate?
Tu sei (almeno) al terzo anno, e io ho risposto dando per scontato che
su certe cose non occorressero spiegazioni...
Se invece ti occorrono, lasciami dire che forse non stai messo tanto
bene.
A tua parziale discolpa, si puo' dire che ora la "produttivita'" di
un'universita' si misura in base a quanti laureati sforna; mica serve
sapere che cosa hanno imparato :-<

Comunque...
Se devi calcolare l'integrale da -oo a +oo di exp[-(ax^2+bx+c)], ti
avevo detto: trova x1 e q tali che
ax^2 +bx +c = a*(x-x1)^2 + q
(e questo proprio non te lo spiego...).
Cio' fatto, avrai
\int exp[-(ax^2+bx+c)] dx = \int exp[-a*(x-x1)^2 + q] dx = e^q * \int exp[-a*(x-x1)^2] dx.

Poni y = x-x1, e l'integrale diventa \int exp(-y^2) dy, sempre tra -oo
e +oo.
Questo non occorre calcolarlo, perche' lo ritroviamo tra poco.
Quanto a

\int x*exp[-(ax^2+bx+c)] dx

avrai, con la stessa sostituzione:

\int (y+x1)*exp(-y^2)] dy

che si spezza in due, di cui il primo e' nullo, e il secondo e' quello
gia' visto.

Ora la prima probabilita' richiesta e' |<0|0'>|^2, dove |0> e |0'>
sono vettori *normalizzati*.
Tu conosci gia'il fattore di normalizzazione, perche l'hai scritto; ma
se invece non lo conoscessi, e per |0> scrivessi la f. d'onda
C*exp(-a*x^2), scopriresti che per calcolare C dovresti fare di nuovo
lo stesso integrale di cui sopra.
Ovvero, lavorando con vettori non normalizzati, la prob. sarebbe

  |<0|0'>|^2
------------.
<0|0><0'|0'>

Prova a scrivere gli integrali, e vedrai che l'integrale che era
rimasto si cancella sempre tr anumeratore e denominatore.
Naturalmente lo stesso vale anche per |<0|1'>|^2.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
Received on Mon Jan 12 2004 - 20:45:31 CET