Ho tre sfere di raggio 5 10 15 cm sui vertici di un triangolo
equilatero di lato venti metri. Le sfere sono conduttrici perfette e
collegate a stella. Viene posta una carica di un milli coulomb su una delle
sfere. Quanta carica si
distribuisce su ciascuna superfice? La mia soluzione sarebbe questa: � una
soluzione approssimata. Chiamo q1,q2,q3 le
cariche su ogni sfera. Pongo che il potenziale sulla
prima sfera vale q1/r1, voglio che questo sia uguale al
potenziale sulla seconda sfera q2/r2, e questo uguale al
potenziale sulla terza sfera q3/r3. Allora le cariche si
distribuiranno in modo direttamente proporzionale ai raggi.
Quindi le densit� di carica in modo inversamente proporzionale
ai raggi. Cio� trovo si=k/ri. E questo � vero per quante
sfere si considerino. Ed � vero per la densit� media.
Trovo allora 1/6 millicoulomb sulla sfera di raggio 5,
1/3 di millicoulomb sulla sfera di raggio 10 e 1/2 di millicoulomb sulla
sfera di raggio 15 cm. Notiamo che
la carica aumenta linearmente con il raggio e la
densit� aumenta invece linearmente con la curvatura
che � inversamente proporzionale al raggio.
Se avessimo considerato cinque cilindri e lontani
abbastanza rispetto al raggio avremmo trovato forse lo
stesso risultato? Il problema � esprimere a che
potenziale sta un filo di lunghezza l a distanza r.
Pi� semplicemente consideriamo un cilindro chiuso da
due calotte emisferiche (non sono quelle di magdeburgo)
di raggio 5 cm. Il tubo � lungo 20 metri. Se poniamo
un millicoulomb su questo tubo mi chiedo quanta carica
sta sulle emisfere e quanta sul tratto cilindrico.
Sembra semplice. Non lo �. Sembra vile calcolo, non lo
�, quello che questi esempi illustrano � che la soluzione
di un problema cos� semplice non pu� essere determinata
dalla geometria locale del problema. In prima approssimazione
la carica va come la curvatura media. In effetti dipende dalla
geometria complessiva, il potenziale di Coulomb � "fortemente"
non locale.
Ero un adolescente quando lessi che la densit� di carica
va come la curvatura media e la cosa
mi lasci� meravigliato, � vero, si spiegava l'effetto
punta, per� non riuscivo a spiegarmi il perch� dovesse
valere, nemmeno approssimativamente, e non riuscivo a
credere soprattutto che fosse vera per una superfice
comune. Quello che credo oggi � che sia una propriet�
buona per gli eccessi di curvatura su una superfice
regolare. In particolare mi chiedo che carica andrebbe
a distribuirsi su un oggetto di dimensione di Haussdorf
maggiore di due.
Procediamo a costruire un oggetto in cui parto da
una sfera ed aggiungo sferette di ragione 1/20.
Se dovessi dar retta all'approssimazione
direi che se sulla sfera principale stanno quattro sferette
e su questa altre quattro di raggi con una ragione geometrica
di un ventesimo, diciamo, allora la carica media sulla prima
sfera + 4 cariche medie sulle seconde + ...
Trovo R+4(R/20)+R/5^2+...= R[1/(1-1/5)]= 5/4 R.
Mentre la superfice va come la somma dei quadrati
di queste grandezze, quindi la ragione diventa 1/25
e (R^2)/(1-1/25) = 25/24 R^2. Quindi la densit�
va come 6/5 K . Dove K � la curvatura media della
sfera principale.
Questo � un caso fortunato perch� nonostante
l'autosimilarit� la superfice rimane finita.
Non si creano situazioni strane.
Possiamo considerare un sistema di sfere costruita
in questo modo, intorno alla prima aggiungiamo k sfere
di raggio a*R e procuriamo che k*a>1. Procediamo poi
via via via, diciamo anche che k*a^2<1. La superfice
� finita. La capacit� di questo oggetto divergerebbe,
o no? Quindi avremmo una quantit� di carica infinita
su una superfice finita.
Se valesse a rigore la proporzionalit� fra
densit� e curvatura media dovrebbe essere che la
capacit� � infinita. Notiamo che possiamo anche
ottenere divergenza di superfice in finitezza
di volume, basta imporre che ka e ka^2 sono maggiori
di uno, mentre ka^3 � minore di uno.
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Received on Fri Dec 19 2003 - 23:58:12 CET