Re: Equivalenza massa energia.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 15 Dec 2003 20:52:16 +0100

Gianmarco Bramanti ha scritto:
> ...
> Una parola. Perch� poi per sapere di non aver lasciato
> nulla da parte bisogna avere imparato a classificarle
> tutte queste orbite. Quindi la domanda ridiventa subito:
> come � fatta la pi� generale orbita del gruppo di Poincar�?
> E la risposta direi che passa per la teoria delle rappresentazioni.
Si', ma e' semplice.
Conviene lavorare nello spazio degli impulsi (trasf. di Fourier).
Allora il gr. di Lorentz agisce transitivamente sugli iperboloidi p^2
= m^2.
Le traslazioni (spaziali e temporali) moltiplicano la funzione per un
fattore di fase exp(ipa) (px prodotto di quadrivettori, a traslazione).
E questo e' tutto.

> Certo � + i d/dt. Ma perch� poi?
> cambierebbe qualcosa? Non sono
> equazioni invarianti per inversione temporale?
Non cambierebbe niente, ma bisogna mettersi d'accordo una volta per
tutte, per non fare casino.
Saprai di certo che esiste un disaccordo fondamentale tra fisici e
ingegneri: per i fisici, un'onda monocromatica va come exp(-iwt); per
un ingegnere, com exp(iwt).
Basta saperlo...

> Provo a indovinare, cerco un sottospazio invariante
> irriducibile perch� su quel sottospazio applico il
> lemma di Schur. Dico giusto?
Si'.

> Punto poco evidenziato. La trasformazione di Foldy-W.
> l'avevo vista ma non avevo certo capito che servisse
> a questo scopo.
Beh, onestamente non escluderei che sia nata con un altro scopo:
risolvere il problema della "Zitterbewegung".
Poi si e' capito che era lo stesso problema...
Ricordo in proposito un lavoro del solo Foldy, che mi pare fosse del
'52 o giu' di li'.
Puo' darsi che il titolo fosse "Synthesis of covariant particle
equations", ma forse sto inventando. Ha a che fare con quello che
scrivero' tra poco a Valter.

> Piano, vediamo se ho capito: io so che le funzioni di
> Hankel sono delle soluzioni dell'equazione:
>
> [quadratello - m^2]psi=0
>
> ottenute essenzialmente per sovrapposizione di onde
> piane con P0 fissata. Mi sembra che siano le soluzioni
> in coordinate sferiche. Per� anche le onde piane
> sarebbero soluzioni.
Le f. di Hankel (modificate) di per se' sono funzioni di Bessel con
argomento immaginario, e con andamento asintotico esponenziale
decrescente.
Ce ne sono per ogni ordine reale.

Quello che volevo dire e' che il nucleo di cui stiamo parlando e' una
f. di Hankel modificata di argomento k|r-r'|.
E' quello che ottieni facendo la TdF di \sqrt(p^2 + m^2).

> ...
> Se uno trova gli stati legati per l'equazione
> di Dirac, con il potenziale 1/r a me, con l'occhio
> del contemporaneo, uscendo dalla prospettiva storica
> del libro di Dirac, sembra che non consideri una
> quantit� di fisica del sistema, non saprei spiegare
> bene dove se l'� dimenticata, per� direi che manca.
Ah certo: mancano tutti i processi virtuali in cui si creano coppie,
magari altre particelle...

> Comunque devo pensare meglio al problema, da studente ero rimasto
> come bloccato fra due punti di vista che mi sembravano lontanissimi ma
> parlavano delle stesse cose, infatti la diagrammatica riguardava
> essenzialmente stati liberi, per descrivere uno stato legato
> risolvendo l'equazione di Dirac tralascio o considero essenzialmente
> in un sol blocco una quantit� infinita di diagrammi.
Infatti io non so neppure bene come si faccia, e probabilmente un
calcolo rigoroso nel senso che vorresti tu non l'ha mai fatto nessuno.

Dal tuo punto di vista, gli stati legati sono poli della matrice S (nel
secondo foglio...).
Il problema e' che un approccio perturbativo non ti dara' mai i poli.
So che in qualche modo si fa, ma l'ho dimenticato :-(

> Appunto, ma che significa risolvere l'equazione di Dirac? A spanne
> direi che significa essenzialmente interpretare il termine misto, fra
> potenziale vettore ed impulso come se non potesse esserci in mezzo
> nulla. Ma quando uno scrive l'evoluzione temporale con la stessa
> lagrangiana, e in pi� ci mette anche il campo elettromagnetico trova
> delle altre possibilit�.
Non ho capito.
Guarda che non c'e' nessun pot. vettore, solo scalare.
Ti scrivi l'equazione per gli stati stazionari, e cerchi gli
autovalori.
Credo che il conto si trovi su tutti i libri. Certamente c'e' sul Dirac.

> Ho fatto un p� di conti sul caso classico,
Su questo debbo metterti sull'avviso.
Il conto come l'avevi impostato ha un difetto: troverai una soluzione
che non e' uno scalare di Lorentz.
Devi mettere come elemento di volume quello invariante: d^3p/p0.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Dec 15 2003 - 20:52:16 CET