Re: un problema di Cauchy in spazi di Hilbert

From: Giaco <lo.spam_at_mi.uccide>
Date: Wed, 10 Dec 2003 20:49:05 +0100

"Valter Moretti" ha scritto


> Ciao, la questione e' la seguente. SE A e' autoaggounto allora
> ogni x=x(t) che risolve la tua equazione differenziale con condizione
> iniziale x(o) ha la stessa norma di x(0) per ogni valore di t (in altri
> termini exp[itA] e' unitario).
> Se partiamo da x(0)=0, dato che x(t) che risolve la tua equazione
> differenziale deve avere la stessa norma di x(0) allora deve avere norma
> nulla, ma avendo norma nulla e' il vettore nullo.
> Questo fatto, data la linearita' dell'equazione implica subito
> l'unicita' della soluzione nel caso di x(0) diverso dal vettore nullo.

Ok, esattamente come sapevo :-)

> Nel caso in cui A non sia autoaggiunto, le soluzioni non conservano
> la norma per cui la dimostrazione di sopra non si puo' piu' fare.
> Ma questo NON significa che non se ne possa fare un'altra!
> Inoltre ci sarebbe un ovvio controesempio. Prendi H = C come spazio di
> Hilbert con prodotto scalare (z,z') = z*z', dove * indica coniugazione
> complessa. In questo ambito gli operatori autoaggiunti sono
> semplicemente del tipo A : z |-> az dovre a e' un numero reale che
> definisce A. Ora e' chiaro che se a e' complesso (non reale),
> l'equazione differenziale in C
>
> dx(t)/dt = ax(t)
>
> ammette unica soluzione se e' fissata una condizione iniziale.
> Questo risulta usando teoremi elementari dei sistemi di equazioni
> differenziali reali separando l'equazione in parte reale ed immaginaria.

Bene, allora non sono fuso del tutto. L'equivoco � nato da una dispensa un
po' imprecisa (eufemismo) che non metteva l'autoaggiuntezza /
autoaggiunzione tra le ipotesi e poi usava la dimostrazione che ho
raccontato.
Grazie ancora per la (solita!) chiarezza delle spiegazioni. A proposito, a
quando la comparsa di nuove morettiane dispense sul tuo sito, magari di
meccanica quantistica?

Ciao,
Giaco
Received on Wed Dec 10 2003 - 20:49:05 CET