Re: Problemino di meccanica quantistica

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 18 Nov 2003 21:01:40 +0100

Nargath ha scritto:
> Se l'oscillatore fosse isotropo L^2, come costante del moto,
> commuterebbe con H.
> Siccome in H ci sarebbero x^2, y^2, z^2, Px, Py e Pz con questi
> dovrebbe commutare L^2.
Questo non e' vero. L'hamiltoniana di un osc. isotropo e' (a meno di
costanti inessenziali)

H = x^2 + y^2 + z^2 + Px^2 + Py^2 + Pz^2.

L^2 puo' benissimo commutare (anzi commuta senz'altro) con H, senza
commutare (non commuta) con nessuno degli addendi.

> Se abbiamo un oscillatore anisotropo come quello in questione, L^2
> non commuta con H (non si conserva) perch�, evidentemente, non commuta
> con qualcosa di quello che c'� dentro H e dentro H non c'� z^2.
>
> Se dimostrassi che L^2 non commuta con z^2 non starei dimostrando che
> nel caso di un oscillatore armonico isotropo L^2 non si conserva?
Il ragionamento e' proprio al rovescio: scrivi H = H' + z^2.
H' e' la tua hamltoniana.
Dato che L^2 non commuta con z^2, non puo' commutare neppure con H'.
Infatti se commutasse avresti

[L^2,H] = [L^2,H'] + [L^2,z^2] = [L^2,z^2]

e questo non e' zero. Oppure:

[L^2,H'] = [L^2,H] - [L^2,z^2] = -[L^2.z^2]

che dimostra direttamente la tesi.

> Dunque quelle indipendenti sono Hx, Hy, Pz, Lz. Giusto?

Si, ma hai infinite altre scelte: per es. H, Hx, Pz, Lz; oppure ...
trovale tu ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Nov 18 2003 - 21:01:40 CET