Re: Problemino di meccanica quantistica

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 13 Nov 2003 20:14:51 +0100

Nargath ha scritto:
> Beh s�, questo � vero solo che avrei voluto risolvere il problema
> calcolando il commutatore dei vari osservabili con H in maniera di
> comprendere bene le regole dell'algebra dei commutatori.
D'accordo, pero' il riferimento alla m. classica serve almeno per
sapere che cosa aspettarsi...

> Il fatto che Lz si debba conservare mi � sembrato, proprio in virt�
> delle propriet� di simmetria del sistema, abbastanza chiaro solo che
> (come sopra) ho ottenuto un commutatore con H diverso da 0. Errore mio
> sicuramente... ma a quel punto non potevo pi� fidarmi delle
> conclusioni che ho raggiunto.
Eh si', devi aver sbagliato i conti...
Vedi, il bello di principi generali e' che quando li padroneggi con
sicurezza sono piu' solidi di qualunque conto particolare.

> Se questo � vero siamo a quota 3 costanti del moto (H, Pz, Lz) ma
> basta dire che il sistema � invariante per rotazioni lungo z per
> giustificare la conservazione di Lz?
A parte che io direi "attorno" e non "lungo", certo che basta.

> L^2, come posso giungere alla conclusione che � una costante del moto?
Non puoi, perche' non lo e'.
Dimostrarlo coi conti non e' proprio banale, anche se si puo' vedere
una scorciatoia, che e' la seguente.

Se l'oscillatore fosse isotropo, tutte le componenti di L sarebbero
costanti, quandi anche L^2.
Nel nostro caso, all'oscillatore per essere isotropo manca l'en. pot.
elastica lungo z, prop. a z^2.
Dunque devi solo mostrare che L^2 non commuta con z^2.
Io lo so, grazie a un teorema generale, che si chiama teorema di
Wigner-Eckart, e che tu incontrerai piu' avanti, o forse mai ... non
so dire.

Ma non hai raccolto un altro suggerimento cne ti avevo dato: le tre
parti di H commutano tra loro.

Chiamiamole Hx, Hy, Hz, anche se non sono le componenti di un vettore:
allora queste sono tutte costanti del moto, e sembra che ne abbiamo
appunto 5, o forse 6: H, Pz, Lz, Hx, Hy, Hz.
Ma non sono indipendenti: H = Hx + Hy + Hz; Hz = Pz^2 / 2m.
Dunque le costanti indipendenti sono solo 4.

E la quinta? Esiste, ma e' un affare serio, e forse non e' bene che te
ne preoccupi.
E' una di quelle bestie che nella m. classica si chiamano "integrali
primi non uniformi" ... e piu' non dimandare :-))
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu Nov 13 2003 - 20:14:51 CET