Re: Un vecchio sassolino nella scarpa.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 15 Nov 2003 20:34:45 +0100

Bruno Cocciaro ha scritto:
> E' da divresi anni ormai che ci rimugino, i dettagli del problema me
> li sono anche in parte dimenticati (cioe' i vari passaggi matematici
> non credo che sarei in grado di ricostruirli senza rimettermi per
> benino a rivedermeli con calma), pero' la sostanza mi e' ancora ben
> chiara.
> ...
> Cioe', sempre se ben capisco, immaginiamo una sfera molto grande,
> l'ipersuperficie di integrazione e' data dalla sfera (cioe' da tutto
> il volume contenuto nella sfera) all'istante iniziale, poi dalla sfera
> all'istante finale, e poi dalla superficie sferica (cioe' la
> superficie che fa da frontiera alla sfera) con l'istante t che varia
> dall'istante iniziale all'istante finale. Landau dice, poiche'
> 1) la variazione del vettore potenziale e' nulla su tutto il volume
> della sfera all'istante iniziale e anche all'istante finale (in virtu'
> del principio di minima azione) allora su questi 2 "pezzi" della
> ipersuperficie l'integrale suddetto si annulla essendo identicamente
> nulla la funzione integranda;
> 2) poiche' il tensore elettromagnetico si annulla all'infinito (in
> ogni istante, cioe' in ogni istante potremo prendere r
> sufficientemente grande da poter rendere il campo sufficientemente
> piccolo) allora sulla superficie della sfera, posto che si prenda r
> sufficientemente grande, la funzione integranda si annullera' in ogni
> istante e l'integrale suddetto si annulla quindi anche su questo terzo
> "pezzo" della ipersuperficie.
>
> Veniamo al sassolino nella scarpa.
> Il punto 2) mi pare errato, o meglio, diciamo che il punto 2)
> necessiterebbe di verifica, cioe', data una certa distribuzione di
> cariche in movimento allora potremo certamente supporre che,
> all'istante iniziale, all'esterno di una sfera sufficientemente grande
> i campi saranno minori di un qualsiasi valore a piacere, potremo cioe'
> prendere r sufficientemente grande da rendere l'integrale in questione
> piccolo a piacere all'istante iniziale, pero', a questo punto,
> mantenendo fissato r, dovremmo continuare ad integrare sulla
> superficie sferica al variare dell'istante dall'iniziale fino
> all'�istante finale, e, proprio le equazioni di Maxwell (che stiamo
> ricavando) ci diranno che, in presenza di cariche in moto accelerato,
> si genereranno onde elettromagnetiche le quali "porteranno" il campo,
> prima o poi, all'esterno di una qualsiasi sfera.
> Cioe', o r e' talmente grande e tfin talmente prossimo a tin che
> nell'intervallo di tempo fra tin e tfin il campo elettromagnetico non
> "fa in tempo" ad uscire dalla sfera, oppure, se vogliamo che i nostri
> risultati siano validi fino ad un tfin a piacere (cioe' se vogliamo
> che le equazioni che stiamo ottenendo siano valide sempre, non che
> esse, data una distribuzione di carica iniziale, siano valide
> solamente per un certo intervallo di tempo, superato il quale "scade"
> la loro validita') allora dobbiamo prendere r proprio infinito, ma
> cosa significa questa ultima cosa?

Io la vedrei cosi'. Devi prima fissare tin e tfin (lontani quanto
vuoi, ma fissati da questo punto in poi).
Poi scegli la sfera suff. grande perche' i campi su quella sfera siano
nulli. E non solo i campi, perche' non basterebbe: un campo prodotto
da una distr. di cariche in moto qualsiasi andra' in generale a zero
come 1/r, e l'integrale di superficie potrebbe addirittura divergere.
Ma vanno a zero anche le variazioni dei potenziali: questa e' una
condizione sottintesa, perche' la classe di funzioni con cui lavori
contiene solo potenziali che si annullano all'infinito, e percio' lo
stesso fanno le variazioni.
Pero' questo ancora non basta: avrai ancora un integrando che va come
1/r^2, che non garantisce l'annullamento dell'integrale.
Oltre questo punto non ti so dare una risposta a mente, ma ho
l'impressione che per fare il conto pulito si debbano separare i
termini con l'indice 4 (vche schifo!, Landau usa ict...) dagli altri,
e guardare bene i diversi termini, trasformandoli opportunamente.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Nov 15 2003 - 20:34:45 CET