Re: aiuto elettromagnetismo

From: Davide Pioggia <dpioggia_at_NOSPAMlibero.it>
Date: Fri, 07 Nov 2003 17:52:54 GMT

Nell'articolo <kzbqb.419914$R32.13896992_at_news2.tin.it>
Andrea Fusar Poli ha scritto:

> Abbiamo iniziato il corso di fisica B (elettromagnetismo) ed essendo
> arrivati con Analisi ai limiti mi sono trovato abbastanza in
> difficolt� con:
>
> -integrali di superficie;
> -integrali di volume;
> -gradiente;
> -divergenza;
> -teorema del rotore;
>
> Ho provato a guardare il libro di Analisi, ma � troppo
> teorico...Qualcuno saprebbe indicarmi dove trovare delle dispense che
> trattano gli argomenti sopraelencati principalmente sul versante
> fisico?

Per conto mio prover� a fornirti una risposta "difficile", che richieder�
forse uno sforzo di astrazione, ma che -a mio avviso- potrebbe ampiamente
"risarcire" della faticaccia

Sebbene quel che sto per dire sia difficilmente proponibile in un corso
ufficiale, a mio avviso pu� essere molto illuminante venire quanto prima a
contatto con quello che Arnold definsce (non ti spaventare): <<formula di
Newton - Leibniz - Gauss - Green - Ostrogradskij - Stockes - Poincar�>>

Come vedi tutti i "grandi nomi" che hanno dato un contributo essenziale al
calcolo degli integrali, riuniti in una sola "formula" (ma si tratta -di
fatto- di un teorema).

L'importanza di questo teorema � quello di mostrarti che, alla fin fine,
tutti quei complicati teoremi sugli integrali dicono "la stessa cosa".

Spero sia chiaro quanto possa essere importante avere questa "visione
unitaria". Il problema � che per riuscire a raggiungere una prospettiva
abbastanza ampia da poter scorgere questa "unit�" occorre mettere a punto
tutta una serie di strumenti matematici abbastanza complessi da definire in
modo rigoroso.

Se per� accettiamo di essere "poco rigorosi", allora quella "formula
unitaria" non � poi cos� spaventosa come si potrebbe immaginare. La cosa pi�
importante da fare � usare i "differenziali" nella maniera "ingenua" in cui
li usavano i fisici in passato (e li usano ancora, ammettiamolo).

Per riuscire a mettere sulla pagina quella benedetta "formula" occorre compr
endere (almeno) due cose:


1)

Proviamo (intuitivamente) ad aggermare che una espressione del tipo

Adx + Bdy + Cdz + ...

� un differenziale dello "stesso ordine" di dx, dy, dz.

Mentre invece una espressione del tipo

A dx dx + B dx dy + ...

sar� una espressione del "secondo ordine" rispetto a dx, dy, dz, eccetera.

Un'altra cosa che dovrebbe essere abbastanza intuitiva � che per passare da
una "forma differenziale" del tipo

A dx

ad una "grandezza finita", basta avere un "integrale semplice".

Mentre invece per ottenere una "grandezza finita" da una "forma
differenziale" del tipo

A dx dy dz

occorre integrare "tre volte", ovvero calcolare un "integrale triplo".

Abbiamo allora che

Integrale n-plo di un "forma differenziale" del n-mo ordine = quantit�
"finita"

(Qui i matematici si staranno stracciando le vesti, ma noi facciamo finta di
nulla).


2)

Adesso viene il bello, perch� la seconda cosa da capire � che un "integrale"
� sempre l'"inverso" di un qualche "operatore differenziale".

Anche qui, anzich� andare dietro ai complicati teoremi dei matematici,
potremmo aiutarci con un bel po' di *geometria* (non serve la fisica, come
dicevi tu, basta la geometria).

Ad esempio immagino tu sia in grado, tracciando il grafico di una funzione,
di "vedere" che l'integrale della funzione � pari alla superficie sottesa
dal grafico, e quindi dovresti anche essere in grado di "vedere" che
l'integrale della derivata di una funzione � pari alla differenza del valore
della funzione nelle estremit� dell'intervallo di integrazione.

Ecco, in due-tre dimensioni e con integrali doppi o tripli le cose si fanno
assai pi� complesse, tuttavia c'� sempre un modo "geometrico" per
"accoppiare" certi "operatori integrali" con i rispettivi "operatori
differenziali inversi".


1) + 2)

E adesso proviamo a mettere assieme quanto affermato al punto 1) con quanto
affermato al punto 2)

Indichiamo con I[n] un integrale n-plo in k dimensioni (con k>n ovviamente)
e con D[n]f un operatore che associa ad una funzione f una "forma
differenziale" di ordine n.

Ad esempio se abbiamo f : R --> R si ha:

D[1]f = df/dx dx

Ebbene, in qualche modo bisogna che I e D si "annullino", quindi

I[n] D[n] f ~ f

Ecco, adesso dobbiamo cercare di capire meglio quel segno "~"

Se tu consideri il caso semplice degli integrali e derivate delle funzioni
da R a R, vedi -come dicevamo- che l'integrale della derivata di f fatto
sull'intervallo [a,b] � uguale non proprio ad "f", ma alla differenza di f
calcolata nei punti a e b:

I[1] D[1] f = Delta f
[a,b] [a],[b]

Come vedi a sinistra c'� tutto l'intervallo [a,b], mentre a destra c'� solo
la "frontiera" di quell'intervallo, ovvero i punti a e b.

Come forse sai la frontiera di un insieme viene anche definita "derivato" di
quell'insieme, sicch� potremmo scrivere cos�:

I[1] D[1] f = Delta f
[a,b] D[a,b]

Non solo, ma potremmo fare qualcosa di pi�. Infatti "Delta", al pari
dell'integrale, � per certi versi una "somma". Ci� che lo distingue
dall'integrale � che:

1) Pi� che essere una "somma" � una "differenza", ma a questo possiamo
ovviare "orientando" la frontiera dell'intervallo [a,b] in modo tale che
f(b) si sommi e f(a) si sottragga (mentre ti dico questo comincia a pensare
al modo in cui si "orientano" le "frontiere dei volumi" -che sono poi le
superfici chiuse- nello spazio tridimensionale).

2) In secondo luogo l'integrale � una infinit� di addendi, mentre il "Delta"
� un numero finito di addendi. Poco male: diremo che il "Delta" � un
integrale non singo-lo, ne tanto meno doppio, ma zeru-plo, cos� come si dice
che un punto ha "dimensioni zero".

Fatto questo la nostra formula diventa la seguente:

I[1] D[1] f = I[0] f
[a,b] D[a,b]

Da leggersi cos�: l'integrale singolo del differenziale singolo di f
sull'intervallo [a,b] � pari all'integrale 0-plo di f sul derivato di [a,b]

E adesso possiamo anche generalizzare con gli integrali n-pli in k
dimensioni:

I[n] D[n] f = I[n-1] f
A D[A]

dove A � un insieme n-dimensionale di R^k, e di conseguenza D[A] �
(n-1)-dimensionale.

E cos� abbiamo anche capito che l'operatore D[n] pi� che essere l'"inverso"
di I[n] in generale lo "semplifica":

1) l'integrale da n-plo diviene (n-1)-plo

2) il dominio di integrazione da A diviene DA



E adesso siamo pronti per applicare questa formula generale ad una serie di

CASI PARTICOLARI:


A) funzioni da R a R (k=1, n=1,0)

A.1) : Teorema di Newton - Leibniz
Integrale su [a,b] della Derivata di f = Delta di f fra a e b



B) funzioni da R^3 a R^3 (k=3, n=3,2,1,0)

B.1) : Teorema di Gauss
Integrale (triplo) sul volume V della Divergenza di f = Integrale (doppio)
sulla frontiera di V (= superficie chiusa) di f

B.2) : Teorema di Stokes
Integrale (doppio) sulla superficie S del Rotore di f = Integrale (semplice)
sulla frontiera di S (= circuito) di f

B.3) :
Integrale (semplice) sulla curva L del Gradiente di f = Delta di f fra le
estremit� di L


E cos� abbiamo elencato *tutti* i "teoremoni" sugli integrali.

Spero di essere riuscito nell'intento di farti vedere quella "unit�" di cui
ti parlavo.

Altrimenti scusa per l'ulteriore confusione che devo averti prodotto.

Ciao,
Davide
Received on Fri Nov 07 2003 - 18:52:54 CET