Re: Spostamenti virtuali sì, ma infinitesimi?

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 03 Nov 2003 21:22:23 +0100

Valter Moretti ha scritto:
> ...
> Ciao, forse si tratta solo di uso improprio di
> termini matematici. Ad essere rigorosi, il termine
> "infinitesimo" in matematica non si puo' (piu') usare
> nel modo che usi tu.
> Se hai una funzione f=f(x) il differenziale nel punto z e'
> la funzione lineare
>
> df_z : v |-> (somma su i di) (_at_f/_at_x^i)|_z v^i
>
> dove v^1,...,v^n sono le componenti di un vettore applicato
> in z. Volendo possiamo indicare i numeri v^i con dx^i
> Non c'e' alcuna necessita' logica di pensare le v^i come
> numeri "infinitesimi" che in matematica moderna non vuol dire
> nulla. In questo senso il differenziali dv^i sono numeri
> arbitrari (anche grandi). E'chiaro che hanno senso fisico,
> nel senso che df_z(v) e' una buona approssimazione (lineare)
> dell'incremento f(z+v)-f(z) tanto piu' v e' piccolo.

Non e' solo questione di senso fisico: e' pura matematica!
Il differenziale non servirebbe a niente se non fosse una "buona"
approssimazione per la variazione della funzione, dove "buona"
significa "a meno di termini di ordine superiore".
Quindi l'infinitesimo rientra, non per la finestra, ma per un'altra
porta: occorre dire che (grazie alla differenziabilita' della
funzione) l'errore che si fa usando il differenziale invece della f e'
infinitesimo rispetto al vettore v.

Ma se si scrive come ha riferito Kickaha

delta(x) = (somma su i di) (_at_f/_at_x^i) delta(q_i)

si lascia quanto meno intendere che la _variazione_ di x sia data da
quell'espressione, in funzione delle _variazioni_ delle q.
Il che e' appunto vero solo a meno di infinitesimi di ordine superiore!

Nota didattica: voresti indicarmi un libro di meccanica, leggibile per
uno studente del 2^ anno, dove queste cose siano trattate secondo
l'uso matematico moderno?
(Ho scritto "leggibile", cosi' non potrai rispondermi Arnol'd :-)) )
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Nov 03 2003 - 21:22:23 CET