Superfici equipotenziali di due elettrodi

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Thu, 07 Feb 2013 03:51:48 +0100

Su un libro di fisica trovo scritta senza dimostrazione la seguente
asserzione: le superfici equipotenziali fra due elettrodi puntiformi
sono superfici di quarto grado.


Non mi riesce di dimostrarlo, spero qualcuno mi sappia indicare una via
d'uscita.


Io so fare la razionalizzazione in due modi che nello specifico caso
conducono allo stesso risultato.

Per entrare nel merito, pongo:

r(A)+r(B)+C = 0 corrispondente a:

1/((x-1)^2 + y^2)^(1/2) + 1/((x+1)^2 + y^2)^(1/2) = -C

devo in primo luogo risolvere i quadrati e posso procedere con il
metodo elementare che si usa per le ellissi, cio�:

(r(a)+r(b))^2 = c^2

e poi:

(2r(ab))^2 = (c^2 - a - b)^2

oppure con un metodo pi� generale dovuto a Cartesio che consiste nel
moltiplicare per alcuni fattori secondo tutte le combinazioni di segno
possibile sui radicali (in questo caso le combinazioni possibili sono 4
di cui una � quella che corrisponde alle nostre superfici
equipotenziali):

(r(a)+r(b)+c)(r(a)-r(b)+c)(-r(a)+r(b)+c)(-r(a)-r(b)+c) = 0

i due metodi conducono al medesimo risultato ovvero:

-c^4+2 c^2 a - a^2 +2 c^2 b +2 a b - b^2

come si vede questa espressione contiene, in effetti, al pi� polinomi
di quarto grado il problema � che li porta al denominatore e che
raccogliendo a fattore comune il termine noto assorbe il prodotto di
due termini di quarto grado e la superficie che ottengo ha grado 8, a
differenza di quanto avviene per le ellissi i termini di grado pi� alto
non vogliono saperne di semplificarsi, in questa situazione il
risultato che trovo a numeratore �:

C^4((x-1)^2+y^2)^2 ((x+1)^2+y^2)^2 - 2 C^2 ((x-1)^2+y^2)((x+1)^2+y^2)
(2x^2+2y^2+2)+16x^2 = 0

e mi rimane genuinamente di grado 8. C'� forse un modo che non vedo di
fattorizzare questo polinomio ?

Faccio notare un fenomeno curioso che mi fa esser certo di non aver
commesso sviste in grado di alterare il succo del discorso.

Quando i radicali r(a) ed r(b) sono le distanze dai fuochi (anzich� gli
inversi come � nel caso specifico) l'espressione finale che si ottiene
� di secondo grado (ellissi) e coincide come luogo geometrico con
quello iniziale. In quel caso i fattori di Cartesio:

r(a)-r(b)+c [1]

e

-r(a)+r(b)+c [2]

(c<0) sono iperboli puramente immaginarie cio� in campo reale non hanno
soluzioni quindi moltiplicando per questi fattori non si aggiungono
soluzioni diverse dall'ellisse.

Nel nostro caso la situazione � differente: i termini [1] [2]
definiscono le superfici equipotenziali relative al caso in cui il
segno della carica sull'elettrodo b ovvero sull'elettrodo a � cambiato
e la soluzione � non vuota. Perci� la superficie razionalizzata che
ottengo contiene la superfici isopotenziale iniziale, ma non coincide
con quella, perch� contiene in pi� anche questi altri fattori non
vuoti.

Rimane allora la possibilit� che il polinomio sia fattorizzabile, ma
come stabilire se lo � o meno?

Received on Thu Feb 07 2013 - 03:51:48 CET