Re: Angoli solidi

From: Sephiroth <frcuvebguROT13_at_despammed.com>
Date: Wed, 08 Oct 2003 00:30:47 +0200

Diario del Capitano. Data stellare: Sun, 5 Oct 2003 15:24:33 +0200.
L'ufficiale IceMan ha comunicato il documento
<blp641$inc$1_at_lacerta.tiscalinet.it> all'equipaggio di
it.scienza.fisica:

>Potreste voi fisici darmi alcune delucidazioni sugli angoli solidi??? Grazie

Non sono un fisico pero' spero di esserti utile per capire il
concetto...
L'angolo piano e' la porzione di piano delimitata tra due segmenti
aventi in comune un estremo.
Prendiamo due rette incidenti e un arco il cui centro e' il punto di
incontro delle due rette, e delimitato dalle due rette stesse.
L'angolo formato dalle due rette e' il rapporto tra la lunghezza
dell'arco e la lunghezza del raggio dell'arco.
Analogamente l'angolo solido e' il rapporto tra due superfici.
Prendiamo una superficie di sfera di raggio r e una superficie
infinitesima dS posta (in qualunque modo) sulla superficie della
sfera. Chiamiamo dS' la proiezione di dS (verso il centro della sfera)
sulla superficie della sfera. Sia Theta l'angolo formato dagli
elementi dS e dS' (si possono approssimare come due elementi
infinitesimi di piano).
Si ha quindi che
dS' = dS cos(Theta)
L'elemento infinitesimo di angolo solido dO si definisce
dO = dS'/r^2 = dS cos(Theta) / r^2
L'angolo solido formato dalla superficie S calcolato nel centro della
sfera e' quindi
O = IntegaleDiSuperficie(cos(theta)/r^2 dS)
(theta e r sono dentro l'integrale perche' solitamente variano al
variare di dS)

Prendiamo il caso particolare della superficie S di sfera di raggio R
e calcoliamone l'angolo solido dal suo centro.
La proiezione di qualunque elemento dS su una superficie di sfera
(usata per le proiezioni) di raggio r=R e' sempre
dS' = dS cos(Theta) = dS cos(0) = dS
quindi
dO = dS'/R^2 = dS/R^2
Si conclude che l'angolo solido di una superficie di sfera calcolato
dal suo centro e':
O = IntegraleDiSuperficie(1/R^2 dS) = 1/R^2 4 PiGreco R^2 = 4 PiGreco
dato che l'intera superficie dS e' 4 PiGreco R^2.

Tramite alcuni passaggi e' possibile giungere alle formule in
coordinate polari. Notare che il discorso di proiettare una superficie
sulla superficie di sfera si puo' generalizzare anche per gli angoli
piani proiettando un arco su una circonferenza (verso il centro della
circoferenza), e quindi calcolando l'angolo piano dalla proiezione.
La spiegazione non e' il massimo, ma spero di aver scritto giusto.
-- 
Linux Registered User #181013
[Exokernels] Although one approach to eliminating bloated, buggy,
unreliable operating systems is to make them smaller, a more radical
one is to eliminate the operating system altogether.
Received on Wed Oct 08 2003 - 00:30:47 CEST

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