Re: Chiarimenti sullo scattering di Rayleigh

From: Peltio <peltio_at_twilight.zone>
Date: Mon, 29 Sep 2003 00:58:26 GMT

"Elio Fabri" ha scritto

>Prima di tutto ti spiego perche' non ho risposto prima: e' che volevo
>pensarci.

Devo confessare che pensavo che il post fosse passato del tutto inosservato,
per cui ringrazio doppiamente: per aver risposto ma soprattutto per averci
dedicato del tempo prima di farlo.

>Sulla diffusione di luce nell'atmosfera esistono due modelli diversi:
>quello atomico, che segue in certo senso la linea di Rayleigh (1881),
>e quello statistico, che direi basato su un lavoro di Einstein del
>1910.
>Il primo lo trovi ad es. sul Feynman (vol. I): tratta la diffusione da
>ciascun atomo (o molecola) come incoerente dagli altri. La condizione
>di validita' direi sia che la distanza tra gli atomi sia ben maggiore
>della l. d'onda, cosa certamente non valida nella bassa atmosfera.

Ecco, io infatti fino a qualche giorno fa conoscevo solo la trattazione
elementare di Rayleigh fatta da Feynman (e non quella di
Einstein-Smoluchowski).
Proprio sul Feynman si legge

    "If the objects are *randomly* located then the total intensity
    in any direction is the sum of the intensities that are scattered
    by each atom [...]
    Furthermore, the atoms in a gas are in actual *motion* so that
    although the relative phase of each atoms is a definite amount
    now, later the phase would be quite different, and therefore each
    cosine term will average out.
    Therefore, to find out how much light is scattered in a given
    direction by a gas, we merely study the effects of one atom
    and multiply the amount of the intensity by the number of atoms"

            Libro I
            Salmo 32-5 "Scattering of light"
            Versetto secondo

Qui non fa riferimento alla distanza tra gli atomi. Questo �, a quanto mi �
dato di capire, in accordo con quanto riportato sul Jackson (Classical
Electrodynamics, 3rd edition, Sezione 10.1 "Scattering at *long*
wavelength", Paragrafo D "Collection of scatterers") dove per gli insiemi di
diffusori con distanze fisse tra loro considera un fattore di fase

    Exp[-i k n.x_j]

dove n � il versore che identifica la direzione di osservazione e x_j � il
vettore posizione del diffusore i-esimo. Considerando la sovrapposizione
coerente delle ampiezze del campo elettrico diffuso da ciascun diffusore si
trova (ok, Jackson trova : ) ) che la cross section del gruppo di N
diffusori � data dal prodotto della cross section di un diffusore (che
dipende da k^4) per un 'fattore di struttura'

    F[q] = |Sum[Exp[i q.x_j]|^2

(dove q � il vettore k(n_0 - n) che rappresenta la differenza dei vettori
d'onda prima e dopo lo scattering - nota: k � scalare, n � vettoriale)
Ora, se i diffusori sono distribuiti casualmente si trova che

    F[q] = N

ossia che il risultato � una sovrapposizione incoerente dei contributi
elementari.
Credo che questo valga a maggior ragione nei gas, dove il moto delle
molecole contribuisce a rendere ancora pi� casuale la disposizione dei
centri di diffusione.
O no?

Se invece i diffusori sono distribuiti in maniera regolare nello spazio
allora si pu� avere la cancellazione lungo tutte le direzioni tranne quella
di incidenza come succede ad esempio in un cristallo [1]. Se poi la
lunghezza d'onda � piccola rispetto alla distanza tra i centri di diffusione
allora si pu� avere un fattore di forma che privilegi determinate direzioni
come succede con la diffusione dei raggi x da parte di un reticolo
cristallino quando sono soddisfatte le condizioni di Bragg. Viene anche
riportato l'esempio di F[q] per un reticolo cubico per dimostrare la
differenza di comportamento a seconda della lunghezza d'onda.

[1] Peraltro il Jackson afferma che in un cristallo quel poco scattering che
c'� � dovuto alle vibrazioni degli atomi attorno alle loro posizioni di
equilibrio. Ne deduco che nonostante la distanza sia ben inferiore alla
lunghezza d'onda della luce, il disordine indotto dal loro movimento basta a
determinare la diffusione.

>Il secondo modello e' quello delle fluttuazioni, che si trova anche in
>Landau (vol. 8). La condizione di validita' e' che il cammino libero
>medio (non la distanza) sia molto minore della l. d'onda.

La relazione di Einstein Smoluchowski viene riportata anche sul Jackson
(sezione 10.2 "Perturbation Theory of Scattering, Rayleigh Explanation of
the Blue Sky*, Scattering by Gases and Liquids, Attenuation in Optical
Fibers" -ammazza che titolo! - paragrafo D "Density Fluctuations; Critical
Opalescence").
Confesso che -ehm- mi � un po' oscura ma da quel poco che riesco a digerire
vedo che si divide il volume del fluido in celle di dimensioni ridotte
rispetto alla lunghezza d'onda.
Non sono riuscito a trovare riferimenti espliciti a condizioni sul libero
cammino medio (sento che verr� bacchettato per aver detto questo e che il
mfp salter� fuori da qualche costante : )) ): quello che chiede � che il
numero di molecole medio per cella sia grande:

    "The volume V of fluid is imagined to be divided into cells small
    compared to a wavelength, but each containing very many molecules.
    Each cell has volume v with an average number N_v = v N of
    molecules inside."

La condizione non dovrebbe essere quindi sulla densit� numerica? Al livello
del mare l'inverso della radice cubica della densit� � di 3.3 nm: una cella
di lato 600 nm contiene 6 milioni di molecole. Una cella di lato 60 ne
conterr� 6 mila.
Perch� si prende il libero cammino medio, invece?

saluti,
Peltio
che sul Jackson mostra come la formula di Einstein Smoluchowski si riduca
allo scattering di Rayleigh nel caso di un gas diluito. con (|epsilon -1| <<
1) e (N k T beta_T = 1)
beta_T � la compressibilit� isoterma.
Received on Mon Sep 29 2003 - 02:58:26 CEST