Andrea Barontini ha scritto:
> tranquillo, tanto anch'io mi devo rileggere un po' bene le puntate
> precedenti
Eccomi qua, con un po' di tempo e la speranza di riuscire a fare un
discorso dotato di un filo logico...
Mi riattacco al mio post del 12/10, dove ti avevo fatto vedere che i
valori medi delle matrici di Pauli individuano un punto (x,y,z) di R^3
che sta sulla sfera di Bloch, ed è proprio il punto rappresentativo
dello stato |s> su cui si è fatto il valor medio.
Prima però sbrigo una tua perplessità sulla denominazione "prob. di
transizione" che si dà a P(u,v) = |<u|v>|^2.
Non devi interpretare alla lettera quell'espressione.
Sta solo a significare una cosa che sai benissimo.
Se |v> è lo stato del sistema a un certo istante, e si esegue una
misura di una qualche ossservabile A, il risultato sarà un autovalore
a di A e subito dopo la misura troverai il sistema in uno stato che è
autostato di A per quell'autovalore. Sia |u> il corrisp. vettore.
La probab. di questo particolare risultato è proprio P(u,v).
Non c'è altro.
La ragione per dare importanza a P(u,v) è che a differenza di <u|v>
dipende solo dagli stati, dai raggi, non dalle fasi.
Un'applicazione importante di questo fatto è un famoso teorema di
Wigner (non so se lo conosci):
"Una trasf. W uno-uno negli stati di un sistema, che conservi tutte le
P(u,v), è sempre rappresentabile nello spazio di Hilbert da un
operatore unitario o antiunitario.
Il caso antiunitario si presenta solo se W implica l'inversione del
tempo."
Questo teorema è la base della teoria della simmetria in m.q. come
teoria delle rappresentazioni unitarie di gruppi (e scusa se è poco).
Mi pareva di averti segnalato le mie lezioni
http://www.sagredo.eu/gruppi
ma forse mi sbaglio. La ragione è che la seconda lezione contiene
appunto l'enunciato (non la dimostrazione) del teorema di Wigner.
Ma torniamo alle matrici di Pauli.
Ho già introdotto lo spazio N delle matrici 2x2 hermitiane a traccia
nulla, in cui X, Y, Z formano una base.
Se G è hermtiana a traccia nulla, l'espressione
U = exp(iG) (1)
definisce una matrice unitaria.
Due parole sulla dim.
Intanto l'esponenziale di una matrice è sempre definito, per es.
mediante la serie:
exp(iG) = I + iG + (iG)^2/2! + ...
che converge sempre (anche per G non hermitiana né a traccia nulla, e
di qualunque ordine).
Poi coniugando la (1)
U^+ = exp(-iG)
e si vede che UU^+ = U^+ U = I
quindi U è unitaria.
Di più: è vero per matrici qualsiasi che
det(exp(M)) = exp(Tr(M))
e se Tr(M)=0 ne segue det(exp(M) = 1.
Quindi le matrici definite dalla (1) sono unitarie e a det=1.
E' ovvio che formano un gruppo, che si chiama SU(2).
Ciascuna matrice del gruppo è generata da una G.
Inoltre le matrici iG (non le G) formano un'algebra di Lie:
- formano uno spazio vettoriale reale
- l'insieme è chiuso rispetto al commutatore.
Infatti
[iG1,iG2] = -[G1,G2]
e il commutatore di due matrici hermitiane è antihermitiano..
Poi
Tr[iG1,iG2] = -Tr[G1,G2] = 0
perché la traccia di un commutatore è sempre nulla in quanto
Tr(G1G2) = Tr(G2G1).
Ecco la connessione: l'algebra M è l'algebra di Lie di SU(2).
(NB: l'algebra di Lie si definice per qualunque gruppo di Lie, ma non
in questo modo semplice: occorrono argomenti differenziali che qui si
possono trascurare.)
Per ciò che segue ti debbo rimandare alla lez. 11 (ultima) del già
citato
http://www.sagredo.eu/gruppi
Qui mi limito a un veloce riassunto.
Il gruppo SU(2) che è definito sopra agisce su H (spazio di Hilbert di
un sistema a due stati, vulgo qbit).
Prendiamo una U e applichiamola al generico |s>; otterremo un diverso
stato
|s'> U|s>.
Se |s> ci aveva fornito le coordinate (x,y,z) di un punto sulla sfera
di Bloch, lo stesso accadrà con |s'>. Che relazione c'è tra (x,y,z) e
(x',y',z')?
Per es.
x' = <s'|X|s'> = <s|U^+ X U|s>.
U^+ X U è hermitiana a traccia nulla, quindi appartiene a M. Dato che
X,Y,Z sono una base di M, esisteranno tre reali a,b,c tali che
U^+ X U = aX + bY + cZ
e quindi
x' = ax + by + cz.
Lo stesso vale per y' e per z'. Il tutto si sintetizza dicendo che
esiste una matrice reale che fa passare da (x,y,z) a (x',y',z').
Si dimostra (lo trovi nella citata lezione) che questa matrice è
ortogonale e ha det = 1, quindi è una rotazione di R^3.
Ecco l'annunciata relazione tra matrici di Pauli e rotazioni della
sfera di Bloch!
Nel gergo della teoria dei gruppi, le matrici ortogonali a det. 1
formano un gruppo che ha nome SO(3).
Quindi abbiamo stabilito una mappa che manda ogni elemento di SU(2) in
uno di SO(3).
Si dimostra che questa mappa è un omomorfismo 2 --> 1: due matrici di
SU(2) vanno nella stessa matrice di SO(3).
La cosa è ovvia, osservando che nella (2) (a,b,c) non cambiano se
sostituisco -U a U.
Forse ti ho propinato un piatto che richiederà tempo per essere
digerito, quindi è meglio se mi fermo :-)
--
Elio Fabri
Received on Thu Dec 03 2020 - 17:53:56 CET