Giovanni Piredda wrote:
> Il punto di collegamento con la fisica e' dato dal fatto di cosa c'entri la
> separabilita' dello spazio nelle condizioni di quantizzazione (e ovviamente
> mi sono accorto che sia Valter Moretti che Elio Fabri pensino che non
> c'entri molto; ma io mi voglio chiarire le idee)
Ciao, invece c'entra, ma non nel senso che credi tu.
C'e' un teorema molto famoso detto di Stone-Von Neumann
che assicura la seguente cosa (detta in soldoni):
se hai in uno spazio di Hilbert delle osservabili
che hanno la stessa algebra
di commutazione degli operatori X e P allora, ammesso
che lo spazio sia *separabile*, lo spazio di Hilbert e'
proprio (e' unitariamente legato a) quello di una
particelle con quel X e quel P, cioe'uno spazio L^2
dove X e' la moltiplicazione per X e P la derivata con
i fattori giusti.
Questo risultato non vale piu' quando passi dalle
particelle ai campi quantizzati e tale fatto ha risultati
abbastanza devastanti o interessanti a seconda dei punti
di vista.
>
> La domanda e' : sono vere le seguenti affermazioni?
>
> Caso "spazio di Hilbert separabile".
>
> L'insieme degli autovalori dello spettro discreto e' vuoto o finito o
> numerabile.
>
Vero
> L'insieme degli autovalori dello spettro continuo e' vuoto, oppure continuo.
Ovviamente ci sono operatori autoaggiunti con spettro
continuo vuoto: hamiltoniano dell'oscillatore armonico. ma per
rispondere alla domanda devi dirmi cosa intendi con
"continuo" riferito all'insieme degli elementi dello spettro continuo
(la cui definizione ti e' stata data precedentemente).
Se intendi nel senso della cardinalita',
la risposta e' negativa perche' lo spettro continuo puo' essere si vuoto
ma non necessariamente di cardinalita' del continuo.
Il controesempio si costruisce cosi'.
E' noto che lo spettro e' sempre chiuso e che, per operatori
autoaggiunti non c'e' spettro residuo. Quindi basta per esempio
esibire un operatore autoaggiunto con spettro che contiene una
successione di numeri che tende a 0 ma che non ammetta 0 come
autovalore. Si puo' fare cio' con operatori compatti.
Per esempio l'inverso dell'operatore dell'oscillatore armonico.
Dato che lo spettro deve essere chiuso, 0 deve appartenere ad
esso ma non puo' essere nello spettro puntuale per ipotesi, allora
e' nello spettro continuo (non c'e' lo spettro residuo).
Per l'operatore in questione lo spettro e' esaurito aggiungendo 0
agli autovalori della successione. Di conseguenza lo spettro
continuo e' formato da un unico punto.
Si puo' dire un po' di piu' e rispondere positivamente
alla questione aggiungendo un'ipotesi.
La proprieta' che caratterizza lo spettro continuo e' che, se x
appartiene allo spettro continuo la sua misura a valori di proiezione
e' sempre nulla mentre c'e' un intervallo contenete il punto e tale
intervallo ha misura non nulla. (Viceversa se x e' nello spettro
puntuale (discreto vuole dire puntuale + dimensione finita
dell'autospazio associato) la misura di proiezione di x e' non nulla.)
Si puo' quindi concludere che: *se e' noto a priori
che lo spettro continuo di un certo operatore ha misura di proiezione
non nulla* (diversamente dal controesempio di sopra)
allora tale parte dello spettro deve avere cardinalita' piu' che
numerabile, ossia almeno quella del continuo assumendo l'ipotesi del
continuo.
>
> Caso "spazio di Hilbert non separabile".
>
> L'insieme degli autovalori dello spettro discreto puo' essere vuoto,
> finito, numerabile o continuo.
>
Non ci ho mai pensato all'ultimo caso, pero' mi pare possibile se per
continuo intendi che abbia la cardinalita' del continuo.
Un esempio si dovrebbe costruire con lo spazio di Hilbert non
separabile che ho esibito in un precedente post. Riferendomi a quel
post mi pare che basti considerare l'operatore che in nutazione di Dirac
e' dato da:
somma_x (tanh x) |1_x><1_x|
definito nel sottospazio denso dei vettori con un numero finito di
componenti. Questo operatore e' sicuramente limitato per costruzione
ed ammette un'estensione autoaggiunta che dovrebbe avere spettro
puntuale di cardinalita' continua dato da (-1,1).
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Thu Sep 11 2003 - 11:50:10 CEST