Analisi dimensionale

From: luca <luca0906_at_yahoo.it>
Date: Wed, 9 Mar 2011 10:47:36 -0800 (PST)

Girovagando in internet ho trovato un sito (Scienzapertutti),
dove c'era una domanda sul raggio di Bohr e relativa risposta :

Ho letto su un libro divulgativo che per trovare il valore del raggio
dell’elettrone intorno al nucleo (o raggio di Bohr), si usa la
seguente formula:
r = (h/2π)2
------------
(me2)n2

dove :
h/2π dovrebbe essere h tagliata di valore 1,055....
m = massa dell’elettrone di valore 9,11.....
e = carica dell’elettrone 8,199....
n = numero quantico che può essere 1,2,3,4,5,6,7 (per semplicità si
può assumere il valore 1)
Il risultato di questa formula dovrebbe essere un raggio di 53
Angstrom. Ora io per curiosità ho provato a fare il calcolo, ma o
commetto un errore matematico oppure i valori che uso non sono esatti,
perché quel valore di 53 non mi viene......Mi potreste aiutare ?
(Antonella Capuano) (2061)

 Innanzi tutto ci complimentiamo con la nostra web-nauta per aver
voluto controllare il valore del calcolo, purtroppo la formula che ha
trovato sul suo libro di divulgazione (ma quale?) non è corretta.
Esiste un metodo per controllare le formule, anche le più complicate,
senza entrare nel merito dei conti. Tale metodo si chiama "analisi
dimensionale". In pratica si controllano solo le dimensioni (metri,
secondi, grammi, etc...) delle variabili coinvolte. Facciamo un
semplice esempio: volendo scrivere una formula per misurare la
velocità di un’automobile ci aspettiamo che il risultato sia espresso
in chilometri orari. Di conseguenza la formula “dovrà “ essere
espressa come un rapporto di un lunghezza diviso per il tempo.
Per quanto riguarda la formula relativa al "raggio di Bohr ", ci si
aspetta, dimensionalmente, una lunghezza. La formula riporta dal
nostro web-nauta non è dimensionalmente corretta. Manca quindi
qualcosa. La formula esatta prevede infatti una costante dimensionale
ko che risolve il nostro problema.

               h(tagliata)^2
 r = ------------------------ = 0.59 x 10^-10 metri
                mKo e^2
dove:
h è la costante di Planck-tagliata = 1.055 × 10^-34 [Joule x secondi]
m: è la massa dell'elettrone = 9.109 × 10^-31 [chilogrammi]
ko: è la costante di Coulomb = 8.988 × 10^9 [Joule x metri /
Coulomb^2] (meglio conosciuta come dove ε è la costante dielettrica)
e: è la carica dell'elettrone = 1.602× 10^-19 [Coulomb]


Dall'analisi dimensionale viene ora fuori che:

                              Joule^2 x secondi^2
metri = ----------------------------------------------------
                                    Joule x metri
            chilogrammi x ----------------------- x Coulomb^2
                                     Coulomb^2

considerando che, dimensionalmente,

                             Joule x secondi^2
chilogrammi = --------------------------------- (1)
                                    metri^2

tutto torna come volevamo!

Ora se possibile vorrei chiarirmi quest'ultimo punto (1)

                         Joule x secondi^2
chilogrammi =----------------------------- ????????????????
                                metri^2

Luca
Received on Wed Mar 09 2011 - 19:47:36 CET