> Come si dimostra che questa
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> http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/09/0005/
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> converge ad una nel limite in cui epsilon tende a 0?
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> Antonio
Posto
g_epsilon (x) = 1/sqrt{2 Pi i epsilon} exp(i x^2/(2 \epsilon))
per fare vedere che tende alla delta bisogna prendere una funzione C
infinito a supporto compatto in R f(x) e far vedere che
lim_ epsilon-> 0^+ int_R g_\epsilon (x) f(x) dx = f(0)
Effettuiamo la semplice sostituzione x= sqrt(i epsilon) t e otteniamo
lim_epsilon -> 0^+ int_R 1/sqrt(2 Pi) e^{-t^2/2} f(sqrt(i epsilon) t) dt.
Ora si pu� chiaramente applicare il teorema della convergenza dominata di
Lebesgue (f � C infinito a supporto compatto) per portare il limite sotto il
segno di integrale, e allora otteniamo
f(0) int_R 1/sqrt(2 Pi) e^{-t^2/2} dt = f(0).
Received on Wed Mar 09 2011 - 20:03:34 CET