"Giovanni Piredda" <pireddag_at_hotmail.com> wrote in message news:<bi3d8t$4n1ku$1_at_ID-105645.news.uni-berlin.de>...
> C'e' da dire che lo spazio di Hilbert possiede una caratteristica che lo
> rende "discreto" in maniera naturale. Infatti esso possiede una base
> ortonormale "numerabile"; e' cioe' possibile esprimere qualunque vettore
> dello spazio di Hilbert come la combinazione lineare di vettori che fanno
> parte di un insieme infinito ma numerabile.
>
Ciao a tutti, e' un bel po' che non scrivo sul NG, ma ora ho 5 minuti
e vorrei replicare a quanto detto sopra.
Non e' proprio vero quanto scritto sopra: uno spazio di Hilbert
non e' necessariamente separabile. Cioe' puo' NON ammettere un
sistema ortonormale completo numerabile. In ogni caso pero' si puo'
provare
che, anche se lo spazio non e' separabile e dunque ogni base
hilbertiana
(ovvero sist. ort. completo) non e' numerabile, ogni vettore si
esprime
come una una somma (infinita in genere) *ma sempre numerabile* di
elementi
per ogni fissata base hilbertiana. Tali elementi dipendono dal vettore
decomposto sullabase considerata.
> E' questa proprieta' di possedere una base numerabile che comporta, dal
> punto di vista matematico, la possibilita' che certe grandezze fisiche siano
> quantizzate.
>
Non c'entra nulla come gia' fatto notare da Elio: prendi uno spazio di
Hilbert non separabile e considera un proiettore ortogonale P. Si
tratta
di un operatore limitato autoaggiunto il cui spattro e' puramente
discreto
e costituito dai due soli autovalori 0 e 1 e questo anche se lo spazio
non e' separabile. Le questioni di separabilita' e spettro degli
operatori
autoaggiunti sono in scorrelate (inoltre il teorema spettrale non
necessita dell'ipotesi di separabiltia' anche se su molti testi essa
e' richiesta
per semplificare le dimostrazioni).
La richiesta di separabilita' invece gioca un ruolo (fisico)
importante nel teorema di Stone - Von Neumann (e generalizzazioni di
Nelson nella teoria delle rappresentazioni unitarie dei gruppi)
che dice che se in uno spazio di H. esistono due operatori con la
stessa algebra di commutazione dell'operatore posizione ed impulso
(per esempio in una dimensione) e se valgono altre opportune
ipotesi tra cui la separabilita' dello spazio, allora lo spazio di
Hilbert
e' unitariamente isomorfo ad un L^2(R^p) (p=1 in una dimensione) e
l'isomorfismo unitario trasforma i due operatori diventano proprio
posizione
ed impulso della formulazione elementare della MQ.
Ciao a tutti, Valter
Received on Sat Aug 23 2003 - 22:30:35 CEST