Re: Numero di stati e spazio delle fasi

From: .:Cla:. <claudio.falorni_at_tiscali.it>
Date: Tue, 22 Jul 2003 21:40:54 +0200

"Eleonora Norese" ha scritto nel messaggio

> Se metto in una scatola di volume V una particella di massa m, libera di
> muoversi nelle tre direzioni, fissata una energia massima E, si pu�
> calcolare, praticamente usando solo la relazione di indeterminazione, il
> numero di stati N della particella.
> N=h^(-3) * (4/3)Pi(2mE)^(3/2) *V
> dove h � la costante di Plank.

Io il numero di stati li calcolerei nel modo standard della MQ: risolvendo
l'eq. di Schroendinger dentro la scatola imponendo le adeguate conizioni per
la funzione d'onda al bordo (H=p^2/2m, il conto � una semplice eq. diff.
lineare a coeff. costanti quindi immediato).
E' il problema della quantizzazione della scatola analogo al calcolo dei
modi normali per il campo e.m.(per i fotoni E=c p)
Poi avrai dei valori discreti per px, py, pz ovvero dei punti nello spazio
delle fasi distanti tra loro di
h-tagliato/2a (a � il lato dell'impulso relativo alla coordinata
considerata).
La formula che hai scritto sopra si ricava considerando il numero di stati
per px compreso tra un valore px e px + delta px,... per py e per pz. poi
consideri la relazione E=p^2/2m e ti calcoli il numero di stati per E
compreso tra E ed E+delta E (magari passi a coordinate sferiche)
considerando che
delta E = p / m delta p
Sul delta E ci sarebbe molto da parlare, sta alla base della larghezza di
riga in spettroscopia...

> La cosa che personalmente mi sconvolge � che il numero di stati �
> esattamente il volume accessibile nello spazio delle fasi ( in unit�
h^3 ).
> Lo spazio delle fasi � qui a sei dimensioni.
>
> Questa relazione ( numero di stati = volume accessibile nello spazio delle
> fasi ) � una cosa nota, o l'ho vista io adesso( cosa poco probabile ) ?
> Si pu� derivare in generale?

Attenzione per�! Se fai il conto in modo standard ti accorgi che c'�
l'approssimazione semiclassica.
La struttura discreta dello spazio delle fasi viene sostituita da una
struttura continua quando si introducono le relazioni passando attraverso
quantit� infinitesime (nel nostro dp, infinitesimo matematicamente, vi � un
numero grande di stati... � un trucco ricorrente in fisica, bisogna tener
presente il significato di questo passaggio)

Nello stato di minima energia, per il quale si ha la condensazione di
Bose-Einstein la struttura continua conurrebbe erroneamente ad una densit�
di stati uguale a 0 per p=0.

Ciao Claudio
Received on Tue Jul 22 2003 - 21:40:54 CEST