mizar.ma wrote:
> grazie anche a te Flavio
> incomincio a capire meglio !
Evviva! Cosi` posso provare a confonderti le idee :-). Avevo in mente un
approccio piu` soft, ma ne faro` uno piu` duro.
Simboli usati. T e` la temperatura, t e` il tempo, D leggilo delta e
vuol dire variazione o intervallo. DT e` quindi una variazione di
temperatura, Dt un intervallo di tempo. Pth e` la potenza termica che
spingi dentro, Ta la temperatura ambiente, To la temperatura dell'oggetto.
Per analizzare cosa capita, guardiamo un intervallo di tempo Dt corto
rispetto al tempo nel quale si evolve il fenomeno (ad esempio se si
scalda uan pentola di acqua, prendiamo ad esempio un secondo, se
scaldiamo un ago su una candela, prendiamo un intervallo di tempo molto
piu` corto).
Vediamo che cosa capita durante Dt. L'energia fornita vale Pth*Dt. Nello
stesso intervallo di tempo, il corpo butta fuori verso l'esterno una
energia pari a h*S*(To-Ta)*Dt (formula di flavio).
All'inizio del riscaldamento To=Ta e quindi il corpo non emette nulla.
Poi, di mano in mano che si scalda, l'energia emessa aumenta.
All'equilibrio, la potenza che entra e` uguale a quella che esce, e
quindi Pt*Dt=h*S*(To-Ta)*Dt e il corpo e` in equilibrio termico, non si
scalda piu`. Puoi semplificare Dt e trovare la condizione di equilibrio.
Durante la fase di riscaldamento, l'energia che entra durante ciascun Dt
e` maggiore di quella che viene emessa durante lo stesso Dt. Dove va a
finire questa differenza? Questa differenza di energia e` quella che va
a scaldare il corpo, quella che tu hai scritto nel primo messaggio Q=C m
DT. Forse e` meglio scrivere DQ=C m DT, perche' stiamo considerando un
passo di aumento di temperatura, che richiede una variazione di energia
immagazzinata.
Allora l'equazione per un generico intervallo di tempo diventa qualcosa
del tipo: l'energia che entra meno quella che esce e` quella che va a
scaldare il corpo.
[Pth-h*S*(To-Ta)]*Dt=C m DT
Allora possiamo calcolare quanto cambia la temperatura: cioe` possiamo
trovare DT, di quanti gradi varia la temperatura in ogni intervallo Dt.
DT= Dt*(Pth-h*S*(To-Ta))/(C m)
oppure qual e` la velocita` di variazione della temperatura (ad esempio
in gradi al secondo)
DT/Dt=(Pth-h*S*(To-Ta))/(C m)
per vedere come va la temperatura nel tempo, puoi quindi costruire una
tabella con tante righe (ad esempio usando excel) ognuna delle quali
rappresenta un intervallo Dt.
All'inizio hai To=Ta, vuol dire che tutta la potenza che entra nel primo
intervallo va tutta solo a scaldare il corpo. Calcoli quindi di quanto
varia la temperatura DT considerando To=Ta. E questa e` l'equazione del
tuo primo messaggio.
Nel secondo intervallo, la temperatura iniziale dell'oggetto vale
To=Ta+DT l'oggetto si e` scaldato nel precedente Dt del DT che hai
trovato prima. Calcoli allora un nuovo DT del secondo intervallo. Qui il
corpo si scalda di meno rispetto all'intervallo precedente, perche'
essendo gia` un pochino caldo, dissipa un po' di energia verso l'ambiente.
Una volta trovato il DT nel secondo intervallo di tempo, lo sommi alla
temperatura che avevi alla fine del primo intervallo, e hai la
temperatura che devi usare come condizioni iniziale per il terzo
intervallo Dt. E cosi` via.
I conti che ti ho raccontato sono tanto migliori quanto piu` corto e`
l'intervallo Dt. Quella che ti ho mostrato sopra e` la soluzione
numerica al problema del riscaldamento. Nota che se cambi Pth durante il
riscaldamento (alzi il gas) o spegni il riscaldamento (Pth=0) basta far
cambiare da una certa riga in avanti il valore di Pth ma l'equazione
rimane sempre la stessa.
Bene, con questo penso di aver confuso abbastanza le idee. Aggiungo un
paio di dettagli. L'equazione di dissipazione h*S*(To-Ta) vale solo per
particolari condizioni (ad esempio dissipazione per conduzione).
Irraggiamento, convezione hanno equazioni molto piu` complicate, ma la
cosa non ha molta importanza, basta scrivere che l'energia che entra
meno quella che esce e` quella che va a riscaldare l'oggetto.
Se al posto di considerare intervalli di tempo finiti (Dt) si "passa al
limite" per intervalli infinitesimi, l'equazione DT/Dt=... diventa
l'equazione differenziale del riscaldamento.
Le equazioni differenziali in alcuni casi si sanno risolvere
"analiticamente" si trova una formula risolutiva assolutamente generica
(tipo 1-e^-t/tau che citavi tu). In altri casi invece non si sanno
risolvere in generale, ma solo in forma numerica. Quello che ti ho
indicato prima, e` un possibile metodo per risolvere numericamente una
equazione differenziale: si torna a considerare un intervallino corto ma
di durata finita (un secondo, ad esempio).
Quello che ti ho indicato e` un modo MOLTO primitivo di soluzione
numerica, ma vale la pena di divertirsi un po' sopra, usando ad esempio
excel.
Buon divertimento!
--
Franco
Um diesen Satz zu verstehen, mu� man der deutschen Sprache m�chtig sein.
Received on Tue Jul 08 2003 - 04:04:07 CEST