Il 18 Giu 2003, 19:11, Antonella <xxxx_at_tin.it> ha scritto:
>
> Sto studiando per l'esame di ottica e sulle mie dispense ho trovato la
> seguente frase:
>
> "come conseguenza di un teorema fondamentale della teoria delle
> variabili complesse, le parti reale ed immaginaria di una funzione
> complessa che non ha poli nel semipiano inferiore (o superiore) sono
> sollegate dalla trasformazione di Hilbert"
>
> Mi sfugge cosa sia la trasformazione di Hilbert perche' non me la
> ritrovo su nessun mio testo di metodi matematici per la fisica e
> specificatamente su quelli delle funzioni di variabile complessa.
> Qualcuno puo' fornirmi la definizione di trasformazione di Hilbert"
>
le trasformazioni di Hilbert, come (quelle di Fourier, Laplace, Mellin...)
mettono in corrispondenza duale due grandezze distinte, che sono la parte
immaginaria e la parte reale di una funzione complessa f(x):C-->C
mi sembra strano che non le abbia trovate in nessun libro di metodi
matematici, forse non hai cercato bene:)
La loro definizione se ben ricordo �
Ref(x)=(1/pi)int(Imf(x')/(x-x'))dx'
Imf(x)=-(1/pi)int(Ref(x')/(x-x'))dx'
ma forse ho perso un 2 da qualche parte..
pi sta per pi greca
l'integrale � esteso da -infinito a +infinito, ed � in realt� la PARTE
PRICIPALE dell'integrale (cio� il risultato di un limite).
in fisica le trf. di Hilbert vengono anche chiamate "relazioni di
dispersione", e la loro importanza � fondamentale in molti campi, dalla
biofisica alla teoria classica della diffusione e all'ottica. ad esempio se
f(x) � l'indice di rifrazione di un mezzo magroscopico funzione
dell'argomento x=frequenza della radiazione che penetra il mezzo, abbiamo
che parte reale e parte immaginaria di f descrivono dispersione e
assorbimento (due fenomeni fisici distinti descritti da un'unica grandezza
complessa) e sono legati tra loro dalle relazioni di dispersione (che in
questo caso � vengono dette "formule di Kramers-Kronig").
L'esistenza delle relazioni di dispersione � strettamente legata al fatto
che la funzione f(x) � analitica in tutto il semipiano superiore (Imf(x)>0)
di f(x), questo risultato (dovuto a Titchmarsh) segue dalla teoria delle
trasformate di Fourier, e se vogliamo � una formulazione del principio di
causalit� (nel senso che la sua antitrasformata di fourier F(t) dipende solo
da tempi t' precedenti a t)..
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Received on Fri Jun 20 2003 - 12:20:17 CEST