Un esercizio algebrico permette di stabilire che una funzione
antisimmetrica rispetto a due argomenti e' fattorizzabile in
termini di funzioni dell'uno e dell'altro argomento:
h(1,2)=f(1)g(2)-f(2)g(1)
se e solo se esiste un punto r,s dove la funzione e' non nulla,
e vale l'identita':
h(1,2)=(h(1,r)h(s,2)-h(2,r)h(s,1)) / h(r,s) *
senza perdita di generalita' possiamo anche assumere che
h(r,s) sia positivo perche' in caso contrario possiamo
ridefinire (r',s') come (s,r) e per l'antisimmetria ottenere
un nuovo punto di riferimento nel quale la funzione h(r',s')
e' positiva. Ne segue dunque che se pongo k=sqrt(1/h(r,s)):
h(1,2)=(k*h(1,r))*(k*h(s,2))-(k*h(2,r))*(k*h(s,1))
ovvero posso porre:
f(1) = k h(1,r)
g(1) = k h(s,1)
inoltre se a g(1) aggiungo un termine k'*h(1,r) ottengo ancora una
buona fattorizzazione. in quanto kk' h(1,r)h(2,r) - kk' h(2,r)h(1,r)
vale zero. L'algebra garantisce anche che questa e' la piu' generale
fattorizzazione.
Quel che ora mi chiedo e' quale possa essere l'interpretazione di
questo risultato. Se considero la funzione d'onda di uno stato di
spin 1 formato da due elettroni non interagenti posso costruire la
parte orbitale della funzione d'onda come prodotto fattorizzato di
una varieta' di funzioni, per via della generalita' appena
considerata. Quel che mi aspetto e' che questa generalita' sia
in qualche modo contenuta nella maggiore generalita' delle
rappresentazioni spinoriali. Ovvero nella teoria degli sviluppi
di Wigner per la parte orbitale di una funzione d'onda.
Cioe' la stessa funzione di quattro variabili, corrispondente
ad una funzione antisimmetrica dovrebbe risultare esprimibile
in piu' modi. Qualcuno sa indicarmi una direzione?
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Received on Fri Jun 20 2003 - 19:35:58 CEST