C'è un nesso generale fra l'impedenza d'onda e l'impedenza di linea?
Questo post � nato inizialmente come tentativo di reversal engineering
della definizione di impedenza d'onda. Cio� il mio intento era di
capire in che modo si associa ad un'onda elettromagnetica una nozione
propria dell'elettrotecnica come quella di impedenza.
L'impedenza d'onda � definita per un campo elettromagnetico, in
particolare per un'onda piana monocromatica che si propaga in un
mezzo si definisce come il rapporto E/H fra le componenti complesse
la cui parte reale esprime il campo. Allora l'impedenza, si trova
scritto su wikipedia, risulta:
\sqrt[( i \omega \mu)/(\sigma + i \omega \epsilon)]
Che sia un'impedenza � vero, basta notare che mu � una induttanza
specifica e \sigma ed \epsilon sono rispettivamente una conduttanza ed
una capacit� specifica (cio� per unit� di lunghezza). D'altra parte
se
considero le equazioni di Maxwell:
rot(E) = - dB/dt
rot(H) = j + dD/dt
con le posizioni: j = \sigma E, D = \epsilon E, H = \mu B e
considerando le sole componenti trasverse rispetto alla direzione di
propagazione, di assegnata frequenza \omega e fattore di fase
temporale exp(-i \omega t) ottengo le equazioni:
dE/dz = + i \omega \mu H
dH/dz = ( \sigma - i \omega \epsilon ) E
del resto queste equazioni sono strutturalmente simili alle equazioni
delle linee elettriche:
dV/dz = R - i \omega L I
dI/dz = (G - i \omega C) V
pur di porre R = 0. L'impedenza caratteristica di una linea elettrica
pari al rapporto V/I di un'onda progressiva, � appunto la radice
quadra del rapporto fra l'impedenza specifica in serie che compare
nella prima equazione e l'ammettenza specifica in parallelo che
compare nella seconda equazione cio� in generale:
sqrt[(R - i \omega L)/(G - i \omega C)]
notare che nonostante la notazione R,L,G,C sono misurate in \Ohm/
m .... cio� sono resistenza, induttanza, conduttanza, e capacit� per
unit� di lunhezza della linea.
Questa analogia certamente giustificherebbe di per se l'introduzione
del termine di impedenza d'onda, tuttavia mi sembra debba esserci di
pi�. Jackson conferma questo sospetto.
Procedendo In modo del tutto analogo a come ho fatto per un onda piana
in un mezzo dispersivo, si pu� procedere separando le equazioni di
Maxwell entro una cavit� per componenti longitudinali e trasverse (che
risultano legate dalle equazioni solenoidali cio� divergenza di D e di
B sono nulle) per le componenti trasverse del campo elettromagnetico
in una guida d'onda. Se il campo longitudinale � puramente magnetico
si parla di modi TE (cio� modi elettrici trasversali) altrimenti di
modi magnetici trasversali.
A secondo che si abbia un'onda di tipo TE oppure un'onda di tipo TM o
un'onda TEM (onde trasversali sia elettricamente che magneticamente in
cui la componente longitudinale dei campi � nulla per entrambe le
componenti, come si ha nel vuoto) si ottengono tre diverse espressioni
specifiche per l'impedenza d'onda.
Nel caso specifico dei modi TEM Jackson, nel primo esercizio del
capitolo otto, invita a dimostrare che l'impedenza caratteristica di
un cavo coassiale � effettivamente proporzionale all'impedenza d'onda,
calcolando con attenzione le costanti di propagazione, la resistenza e
l'induttanza in modo da tenere conto delle perdite dissipative dovute
al moto delle cariche nei pressi della superficie dei due conduttori.
Il Jackson non si dilunga oltre sugli aspetti pratici a parte questi
esercizi ed un paragrafo sulla propagazione in presenza di ostacoli,
sul nesso che c'� fra le propriet� della propagazione delle onde e le
propriet� di propagazione di correnti e potenziali sulle pareti della
guida d'onda. Ed anche gli altri libri che ho sott'occhio introducono
questa definizione di impedenza d'onda:
Z= E/H
senza troppo preoccuparsi di raffrontarla al caso dell'impedenza
d'onda lungo una linea elettrica oppure non si preoccupano affatto
delle perdite di carico dei cavi coassiali n� della questione di
ricondurre l'equazione della linea alle equazioni di Maxwell.
In particolare alla fine non mi � chiaro se nel caso dei modi TE e TM
le equazioni di propagazione per potenziali e correnti della linea ne
risentono (occorre cio� modificare i parametri di capacit�, induttanza
e resistenza specifica?) oppure le equazioni di linea rimangono
immutate.
Received on Tue Feb 22 2011 - 23:01:37 CET
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