Il 28 Mag 2003, 15:52, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
>
>
> Gianmarco Bramanti wrote:
(cut)
> > A dire il vero non e' il massimo del rigore di formulazione, ma
> > possiamo dire che l'hamiltoniana parametrica (dove le variabili
> > dei nuclei proprio non ci sono) agisce su un sotto-spazio dello
> > spazio di Hilbert dell'hamiltoniana libera. E considerare le
> > coordinate fisse dei nuclei come osservabili. Queste osservabili
> > non hanno autofunzioni, come noto, in spazi a quadrato sommabile,
> > ma occorre la teoria delle distribuzioni.
> Non ho capito bene la storia della non commutativita' con l'hamiltoniano
> libero e nemmeno le distribuzioni di sopra.
> Ti dico come la vedo io dal punto di vista del tutto generale.
> Se prendi l'hamiltoniano totale elettroni piu'
> nuclei, lo spazio di Hilbert e' il prodotto tensoriale degli spazi
> delle singole particelle. Per trattare il sistema bisogna separare
> i gradi di liberta' traslazionali da quelli non traslazionali
> ("attorno al centro di massa") e questo produce una differente
> fattorizzazione dello spazio di Hilbert.
Chiarissimo, questo e' il procedimento classico per il problema di
Keplero applicato nel caso quantistico.
Per separare le due parti
> si introducono delle coordinate che mi pare si chiamino "coordinate di
Jacobi",
> in cui 3 coordinate sono quelle del centro di massa e le rimanenti
> N-3 descrivono il moto attorno al c.m.
Ci sono.
> Il caso piu' semplice e' quello di due particelle in cui le coordinate
> dette sono le tre coordinate del cm + la distanza relativa delle due
> particelle.
il nostro caso e' complicato dalla presenza degli elettroni, ma
questa descrizione rimane valida nella misura in cui si puo'
considerare la massa dei nuclei grandissima rispetto alla massa
degli elettroni considerati complessivamente.
> L'hamiltoniano complessivo e' allora fatto da due parti:
> una libera che descrive il solo moto del cm come se fosse
> una particella la cui massa M e' la somma di tutte le masse del sistema,
> piu' una parte che descrive le interazioni ed e' scritta in termini
> di differenze di coordinate delle varie particelle.
> Nel caso di due particelle, la seconda parte del sistema
> ha un hamiltoniano del tipo di una particella unidimensionale con
potenziale
> di legame la cui massa e' la "massa ridotta" ed ha la parte di
``hamiltoniano
> d'interazione''. Nel caso di piu' particelle il formalismo si
> generalizza analogamente introducendo delle masse ridotte ecc...
Introducendo le masse ridotte di? Cioe' stai pensando ad una hamiltoniana
ad n-corpi. Che pero' a me sembra estremamente intrattabile.
per questo io penserei di introdurre una interazione efficace fra
i due nuclei che tenga conto del collante fornito dagli elettroni, e
poi, nel riferimento del centro di massa di questi due oggetti, in
moto relativo in accordo con quel potenziale, studiare il sistema
elettronico.
Ed eventualmente andare ad iterare il procedimento. Una specie di modellino
a pallette e bastoncini.
> Le due parti di Hamiltoniano commutano. Tralasciando fenomeni di
> entanglement lo stato del sistema si puo' pensare fattorizzato
> in due parti. Una parte e' quella di una particella libera di massa M
> e l'altra e' la funzione d'onda del moto attorno a cm.
> E' chiaro che lo spettro dell'hamiltoniano totale e' per forza
> continuo data la parte libera, ma ha sovrapposto ad esso una parte
> (in generale solo in parte) discreta relativa alle interazioni tra
> le particelle del sistema. E' questa parte di sistema e' quella piu'
> interessante di cui si studiano le varie proprieta'molecolari
> (momenti ecc...).
Chiarissimo, pero' ripeto, a me sembra che sia quasi impossibile
trattare il problema considerando omogeneamente nuclei ed elettroni,
si puo'?
> Detto cio' si puo' ancora fare il limite di massa grande delle particelle
> che descrivono i nuclei. Questo limite fatto "formalmente"
nell'hamiltoniano
> come funzione non come operatore,
pero' a me sembra che questo limite vada fatto senza andare a toccare
la massa che entra nel contributo al potenziale efficace rotazionale.
> automaticamente ammazza la parte traslazionale dell'Hamiltoniano
complessivo
> che e' inversamente proporzionale alla massa totale, mentre si vede che
> alcune coordinate interne e alcune masse ridotte tendono a diventare le
coordinate
> degli elettroni e le masse degli stessi le rimanenti rimangono coordinate
relative
> e masse ridotte, e l'hamiltoniano diventa quello che deve diventare.
Quindi in questo modo forse ottieni il modello inerte in cui i nuclei sono
fermi nelle loro posizioni iniziali, dove fissata l'incertezza sull'impulso
ti puoi permettere di localizzare sempre meglio la posizione dei nuclei.
Pero' non ho capito bene come tratti la parte rotazionale.
> Fare il limite direttamente nel mondo degli operatori non mi e'
assolutamente
> chiaro cosa significhi (assegnando posizione fissate ai nuclei (delta di
Dirac? e
> per questo che parlavi di distribuzioni??))
Quello a cui pensavo e' che visto quanto e' grande la massa dei nuclei
rispetto
alla massa degli elettroni puoi considerarli oggetti perfettamente
localizzati
in certe posizioni iniziali. Provo a scrivere l'idea bruta, ma quello che mi
piacerebbe e' controllarne la validita' nel linguaggio degli spazi di
Hilbert.
Si scrive l'hamiltoniana confinando i
nuclei in una buca infinitamente profonda in corrispondenza delle
posizioni migliori, questo implica una scelta fra le SO(3) configurazioni
possibili, fatta questa scelta hai una hamiltoniana che non commuta
con l'hamiltoniana per le configurazioni priva di vincoli.
Il limite di buca infinita si puo' trattare con un potenziale in cui
al potenziale di interazione aggiungi un termine
-Vdelta(Cl-Cl0)-Vdelta(H-H0)
e consideri V che tende ad infinito.
Questo vale anche nel caso di un sistema rotante. Aggiungendo un termine
di potenziale centrifugo.
> Ciao, Valter
>
>
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> Valter Moretti
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Received on Wed May 28 2003 - 17:48:36 CEST